Ache a solução do Sistema Linear:
c 7 x1+1 x2-1 x3+4 x4=-10 1 x1-5 x2+1 x3-2 x4=2 1 x1+0 x2+3 x3-1 x4=11 3 x1+1 x2-3 x3+8 x4=24
Pelo Método de Eliminação de Gauss sem a técnica de pivoteamento; ( 1 , 0 0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando o Método de Eliminação de Gauss. O que a gente precisa aqui é manipular as equações para eliminar variáveis e chegar numa solução para todas as incógnitas , , e . Vamos precisar organizar o sistema em forma de matriz aumentada e fazer umas trocas e multiplicações para simplificar. Bora lá!

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita a visualização das operações que vamos fazer.
7 & 1 & -1 & 4 & | & -10 1 & -5 & 1 & -2 & | & 2 1 & 0 & 3 & -1 & | & 11 3 & 1 & -3 & 8 & | & 24

Passo 3

O próximo passo é usar a primeira linha para eliminar o Linha 2 = Linha 2 - (17) times Linha 1 das outras linhas. Para fazer isso, vamos multiplicar a primeira linha por um número adequado e subtrair das demais linhas.
Primeiro, vamos eliminar da segunda linha. Multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da segunda linha:

Passo 4

Aplicando a operação:
7 & 1 & -1 & 4 & | & -10 0 & -367 & 87 & -187 & | & 247 1 & 0 & 3 & -1 & | & 11 3 & 1 & -3 & 8 & | & 24

Passo 5

Agora, vamos eliminar Linha 3 = Linha 3 - (17) times Linha 1 da terceira linha. Fazemos o mesmo procedimento: multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da terceira linha.

Passo 6

Após a operação:
7 & 1 & -1 & 4 & | & -10 0 & -367 & 87 & -187 & | & 247 0 & -17 & 227 & -117 & | & 817 3 & 1 & -3 & 8 & | & 24

Passo 7

Por último, vamos eliminar Linha 4 = Linha 4 - (37) times Linha 1 da quarta linha. Multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da quarta linha.

Passo 8

Depois dessa operação, a matriz fica assim:
7 & 1 & -1 & 4 & | & -10 0 & -367 & 87 & -187 & | & 247 0 & -17 & 227 & -117 & | & 817 0 & 47 & -187 & 207 & | & 547

Passo 9

Agora, focamos na segunda coluna para eliminar os demais elementos abaixo dela. Primeiro, vamos ajustar a segunda linha para facilitar:
Multiplicamos a segunda linha por Linha 2 = (-736) times Linha 2 para tornar o coeficiente de igual a 1.

Passo 10

Após a operação:
7 & 1 & -1 & 4 & | & -10 0 & 1 & -29 & 12 & | & -23 0 & -17 & 227 & -117 & | & 817 0 & 47 & -187 & 207 & | & 547

Passo 11

Agora, usamos a segunda linha para eliminar Linha 3 = Linha 3 + 17 times Linha 2 das outras linhas.
Para a terceira linha:
Linha 4 = Linha 4 - 47 times Linha 2
Para a quarta linha:

Passo 12

Após essas operações, a matriz fica:
7 & 1 & -1 & 4 & | & -10 0 & 1 & -29 & 12 & | & -23 0 & 0 & 209 & -914 & | & 7718 0 & 0 & -109 & 167 & | & 589

Passo 13

Agora, vamos focar na terceira coluna. Primeiro, ajustamos a terceira linha para ter um coeficiente 1:
Multiplicamos a terceira linha por Linha 3 = 920 times Linha 3 :

Passo 14

Após a operação:
7 & 1 & -1 & 4 & | & -10 0 & 1 & -29 & 12 & | & -23 0 & 0 & 1 & -81280 & | & 693360 0 & 0 & -109 & 167 & | & 589

Passo 15

Usamos a terceira linha para eliminar Linha 4 = Linha 4 + 109 times Linha 3 da quarta linha:

Passo 16

Depois dessa operação, a matriz fica:
7 & 1 & -1 & 4 & | & -10 0 & 1 & -29 & 12 & | & -23 0 & 0 & 1 & -81280 & | & 693360 0 & 0 & 0 & 694140 & | & 58090

Passo 17

Simplificamos a quarta linha para encontrar 694140x4 = 58090 :
x4 = 58090694140 = 580 times 14090 times 694 = 8120062460 = 406313 approx 1.298
Calculamos :

Passo 18

Com x3 - 81280x4 = 693360 encontrado, substituímos na terceira linha para achar x3 = 693360 + 81280 times 406313 :
x3 approx 1.925 + 0.351 = 2.276
Substituindo :
Calculando:

Passo 19

Agora, substituímos x2 - 29x3 + 12x4 = -23 e x2 - 29(2.276) + 12(1.298) approx x2 - 0.506 + 0.649 = -0.667 na segunda linha para encontrar x2 approx -0.667 + 0.506 - 0.649 = -0.81 :
Substituindo:
Resolvendo para :

Passo 20

Por fim, substituímos 7x1 + x2 - x3 + 4x4 = -10 , 7x1 - 0.81 - 2.276 + 4(1.298) approx 7x1 - 0.81 - 2.276 + 5.192 = -10 e 7x1 + 2.106 = -10 implies 7x1 = -12.106 implies x1 approx -1.729 na primeira linha para encontrar :
Substituindo:
Resolvendo para :

Resposta

A solução do sistema é aproximadamente:
x1 approx -1.729, x2 approx -0.81, x3 approx 2.276, x4 approx 1.298

Exercícios relacionados

Monte um sistema linear 3 times 3 e o escreva em formato matricial .
Escolha uma função real que possua uma raiz e encontre um intervalo [a, a+1] que possua a raiz de f.
Ache a solução do Sistema Linear:
c 7 x1+1 x2-1 x3+4 x4=-10 1 x1-5 x2+1 x3-2 x4=2 1 x1+0 x2+3 x3-1 x4=11 3 x1+1 x2-3 x3+8 x4=24
Pelo Método de Gauss-Seidel com E <= 0,05 ex^0^T=llll-0,3 & 1,3 & 2,8 & -2,3 ;(1, 0 ponto)
Ache P3(x) interpolando os pontos:
|c|c|c|c|c| hline$x$ & -2 & -1 & 0 & 3 hline$f(x)$ & 7 & 3 & -2 & 1 hline -2 -1 0 3
7 3 -2 1
Pela Forma de Lagrange; (1,0 ponto)