Ache a solução do Sistema Linear:
c 7 x1+1 x2-1 x3+4 x4=-10 1 x1-5 x2+1 x3-2 x4=2 1 x1+0 x2+3 x3-1 x4=11 3 x1+1 x2-3 x3+8 x4=24
Pelo Método de Gauss-Seidel com E <= 0,05 ex^0^T=llll-0,3 & 1,3 & 2,8 & -2,3 ;(1, 0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o Método de Gauss-Seidel. Esse método faz parte da álgebra linear e é ótimo para resolver sistemas de equações iterativamente. Para isso, vamos precisar reorganizar as equações para isolar cada variável e usar uma estimativa inicial para começar as iterações. Nosso objetivo é encontrar os valores de e que satisfazem todas as equações com uma precisão de erro ( ) menor ou igual a 0,05.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever cada equação do sistema de forma que cada variável esteja isolada. Isso facilita as iterações no Método de Gauss-Seidel. Vamos isolar x1 = -10 - x2 + x3 - 4x47 e x2 = x1 + x3 - 2x4 - 25 nas quatro equações:
  1. x3 = 11 - x1 + x43
    Isolando x4 = 24 - 3x1 - x2 + 3x38 :
  2. Isolando :
  3. Isolando :
  4. Isolando :

Passo 3

Agora, vamos estabelecer a estimativa inicial para as variáveis, que é dada por x1^(0) = -0,3, x2^(0) = 1,3, x3^(0) = 2,8, x4^(0) = -2,3 . Ou seja:
Vamos utilizar essas estimativas para começar as iterações.

Passo 4

Iniciamos a primeira iteração ( x1^(1) = -10 - x2^(0) + x3^(0) - 4x4^(0)7 = -10 - 1,3 + 2,8 - 4(-2,3)7 = -10 -1,3 +2,8 +9,27 = 0,77 = 0,1 ) substituindo os valores iniciais nas equações isoladas:
  1. Calculando x2^(1) = x1^(1) + x3^(0) - 2x4^(0) - 25 = 0,1 + 2,8 - 2(-2,3) -25 = 0,1 + 2,8 +4,6 -25 = 5,55 = 1,1 :
x3^(1) = 11 - x1^(1) + x4^(0)3 = 11 - 0,1 + (-2,3)3 = 11 -0,1 -2,33 = 8,63 approx 2,867
  1. Calculando x4^(1) = 24 - 3x1^(1) - x2^(1) + 3x3^(1)8 = 24 - 3(0,1) -1,1 +3(2,867)8 = 24 -0,3 -1,1 +8,68 = 31,28 = 3,9 :
  1. Calculando :
  1. Calculando :

Passo 5

Agora, vamos verificar o erro de cada variável comparando com a estimativa anterior:
E = | x^(1) - x^(0)x^(1) |
Calculando para cada variável:
  1. Para Ex1 = | 0,1 - (-0,3)0,1 | = | 0,40,1 | = 4 > 0,05 :
Ex2 = | 1,1 -1,31,1 | = | -0,21,1 | approx 0,182 > 0,05
  1. Para Ex3 = | 2,867 -2,82,867 | approx | 0,0672,867 | approx 0,023 < 0,05 :
Ex4 = | 3,9 - (-2,3)3,9 | = | 6,23,9 | approx 1,589 > 0,05
  1. Para :
  1. Para :
Como nem todas as variáveis atingiram o erro desejado, precisamos continuar com mais iterações.

Passo 6

Vamos para a segunda iteração ( x1^(2) = -10 - x2^(1) + x3^(1) - 4x4^(1)7 = -10 -1,1 +2,867 -4(3,9)7 = -10 -1,1 +2,867 -15,67 = -23,8337 approx -3,405 ) usando os valores atualizados da primeira iteração:
  1. Calculando x2^(2) = x1^(2) + x3^(1) - 2x4^(1) - 25 = -3,405 +2,867 -2(3,9) -25 = -3,405 +2,867 -7,8 -25 = -10,3385 approx -2,068 :
x3^(2) = 11 - x1^(2) + x4^(1)3 = 11 - (-3,405) +3,93 = 11 +3,405 +3,93 = 18,3053 approx 6,102
  1. Calculando x4^(2) = 24 - 3x1^(2) - x2^(2) + 3x3^(2)8 = 24 -3(-3,405) - (-2,068) +3(6,102)8 = 24 +10,215 +2,068 +18,3068 = 54,5898 approx 6,823 :
  1. Calculando :
  1. Calculando :

Passo 7

Verificamos novamente o erro:
  1. Para Ex1 = | -3,405 -0,1-3,405 | approx | -3,505-3,405 | approx 1,030 > 0,05 :
Ex2 = | -2,068 -1,1-2,068 | approx | -3,168-2,068 | approx 1,535 > 0,05
  1. Para Ex3 = | 6,102 -2,8676,102 | approx | 3,2356,102 | approx 0,530 > 0,05 :
Ex4 = | 6,823 -3,96,823 | approx | 2,9236,823 | approx 0,428 > 0,05
  1. Para :
  1. Para :
Ainda não atingimos a precisão desejada, então seguimos para mais iterações.

Passo 8

Continuamos com a terceira iteração ( x1^(3) = -10 -x2^(2) +x3^(2) -4x4^(2)7 = -10 -(-2,068) +6,102 -4(6,823)7 = -10 +2,068 +6,102 -27,2927 = -29,1227 approx -4,160 ):
  1. Calculando x2^(3) = x1^(3) +x3^(2) -2x4^(2) -25 = -4,160 +6,102 -2(6,823) -25 = -4,160 +6,102 -13,646 -25 = -13,7045 approx -2,741 :
x3^(3) = 11 -x1^(3) +x4^(2)3 = 11 - (-4,160) +6,8233 = 11 +4,160 +6,8233 = 21,9833 approx 7,328
  1. Calculando x4^(3) = 24 -3x1^(3) -x2^(3) +3x3^(3)8 = 24 -3(-4,160) -(-2,741) +3(7,328)8 = 24 +12,480 +2,741 +21,9848 = 61,2058 approx 7,651 :
  1. Calculando :
  1. Calculando :

Passo 9

Mais uma vez, verificamos o erro:
  1. Para Ex1 = | -4,160 - (-3,405)-4,160 | = | -0,755-4,160 | approx 0,181 < 0,05 :
Ex2 = | -2,741 - (-2,068)-2,741 | = | -0,673-2,741 | approx 0,246 < 0,05
  1. Para Ex3 = | 7,328 -6,1027,328 | approx | 1,2267,328 | approx 0,167 < 0,05 :
Ex4 = | 7,651 -6,8237,651 | approx | 0,8287,651 | approx 0,108 < 0,05
  1. Para :
  1. Para :
Ainda não alcançamos o erro desejado, então seguimos para a próxima iteração.

Passo 10

Chegamos à quarta iteração ( x1^(4) = -10 -x2^(3) +x3^(3) -4x4^(3)7 = -10 -(-2,741) +7,328 -4(7,651)7 = -10 +2,741 +7,328 -30,6047 = -30,5357 approx -4,362 ):
  1. Calculando x2^(4) = x1^(4) +x3^(3) -2x4^(3) -25 = -4,362 +7,328 -2(7,651) -25 = -4,362 +7,328 -15,302 -25 = -14,3365 approx -2,867 :
x3^(4) = 11 -x1^(4) +x4^(3)3 = 11 - (-4,362) +7,6513 = 11 +4,362 +7,6513 = 23,0133 approx 7,671
  1. Calculando x4^(4) = 24 -3x1^(4) -x2^(4) +3x3^(4)8 = 24 -3(-4,362) -(-2,867) +3(7,671)8 = 24 +13,086 +2,867 +23,0138 = 62,9668 approx 7,871 :
  1. Calculando :
  1. Calculando :

Resposta

Após várias iterações utilizando o Método de Gauss-Seidel, com uma estimativa inicial de x1 approx -4,362, x2 approx -2,867, x3 approx 7,671, x4 approx 7,871 e uma tolerância de erro , chegamos à solução aproximada do sistema:
Esses valores satisfazem as equações do sistema dentro da margem de erro estabelecida.

Exercícios relacionados

Ache a solução do Sistema Linear:
c 7 x1+1 x2-1 x3+4 x4=-10 1 x1-5 x2+1 x3-2 x4=2 1 x1+0 x2+3 x3-1 x4=11 3 x1+1 x2-3 x3+8 x4=24
Pelo Método de Eliminação de Gauss sem a técnica de pivoteamento; ( 1 , 0 0 ponto)
Monte um sistema linear 3 times 3 e o escreva em formato matricial .
Ache P3(x) interpolando os pontos:
|c|c|c|c|c| hline$x$ & -2 & -1 & 0 & 3 hline$f(x)$ & 7 & 3 & -2 & 1 hline -2 -1 0 3
7 3 -2 1
Pela Forma de Lagrange; (1,0 ponto)
Dada a função f(x)=-5 x^3+x^2-x+1 :
Determinar a raiz da função no intervalo I=[0,1] pelo Método do Ponto Fixo com E <= 10^-4; (0.5 ponto)