Ache P3(x) interpolando os pontos:
|c|c|c|c|c| hline$x$ & -3 & 0 & 2 & 4 hline$f(x)$ & -4 & -2 & -1 & 3 hline -3 0 2 4
-4 -2 -1 3
Pela Forma de Newton; ( 1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa achar o polinômio interpolador de grau 3, chamado P3(x), que passa pelos pontos dados: (-3, -4), (0, -2), (2, -1) e (4, 3). Para isso, vamos usar a Forma de Newton, que é uma técnica da Interpolação Polinomial. A gente vai precisar calcular as diferenças divididas para montar o polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os pontos em uma tabela para facilitar os cálculos das diferenças divididas. A tabela inicial fica assim:
|c|c|c|c|c| hline x & -3 & 0 & 2 & 4 hline f(x) & -4 & -2 & -1 & 3 hline

Passo 3

Agora, vamos calcular as diferenças divididas. A primeira diferença dividida é simplesmente f[xi] = f(xi). A segunda diferença dividida é calculada como:
f[xi, xj] = f[xj] - f[xi]xj - xi
E assim por diante para diferenças de ordem superior. Vamos calcular passo a passo:
Primeira ordem:
f[-3, 0] = -2 - (-4)0 - (-3) = 23
f[0, 2] = -1 - (-2)2 - 0 = 12
f[2, 4] = 3 - (-1)4 - 2 = 2
Segunda ordem:
f[-3, 0, 2] = f[0,2] - f[-3,0]2 - (-3) = 12 - 235 = -165 = -130
f[0,2,4] = f[2,4] - f[0,2]4 - 0 = 2 - 124 = 324 = 38
Terceira ordem:
f[-3,0,2,4] = f[0,2,4] - f[-3,0,2]4 - (-3) = 38 - (-130)7 = 13407 = 13280

Passo 4

Com todas as diferenças divididas calculadas, vamos montar o polinômio de Newton. A forma geral é:
P3(x) = f[x0] + f[x0, x1](x - x0) + f[x0, x1, x2](x - x0)(x - x1) + f[x0, x1, x2, x3](x - x0)(x - x1)(x - x2)
Substituindo os valores que calculamos:
P3(x) = -4 + 23(x + 3) - 130(x + 3)(x) + 13280(x + 3)(x)(x - 2)

Resposta

O polinômio interpolador é:
P3(x) = -4 + 23(x + 3) - 130(x + 3)x + 13280(x + 3)x(x - 2)

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