Ache a solução do Sistema Linear:
c 6 x1+2 x2+2 x3-1 x4=12 -1 x1-5 x2+1 x3+2 x4=-8 3 x1-2 x2+7 x3-1 x4=-3 2 x1-1 x2-1 x3+5 x4=4
Pelo Método de Eliminação de Gauss sem a técnica de pivoteamento; (1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando o Método de Eliminação de Gauss. O objetivo aqui é encontrar os valores de e que satisfazem todas as quatro equações ao mesmo tempo. Para isso, vamos transformar o sistema em uma matriz aumentada e realizar operações para simplificar até chegar na solução final.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de uma matriz aumentada. Isso facilita aplicar as operações de linha necessárias para eliminar as variáveis umas por vez.
6 & 2 & 2 & -1 & | & 12 -1 & -5 & 1 & 2 & | & -8 3 & -2 & 7 & -1 & | & -3 2 & -1 & -1 & 5 & | & 4

Passo 3

O próximo passo é tornar o primeiro elemento da primeira linha igual a 1, se possível. Isso é chamado de “pivoteamento”. Porém, como estamos seguindo sem a técnica de pivoteamento, mantemos o primeiro elemento como está e começamos a eliminar os valores abaixo dele.

Passo 4

Vamos eliminar o 6 & 2 & 2 & -1 & | & 12 0 & -286 & 86 & 106 & | & 46 0 & -3 & 6 & 12 & | & -3 0 & -53 & -53 & 163 & | & 0 das outras linhas. Para isso, ajustamos as linhas para que as posições abaixo do primeiro pivô (6) se tornem zero.
  • Linha 2:
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Após essas operações, a matriz fica assim:

Passo 5

Simplificando as frações na matriz:
6 & 2 & 2 & -1 & | & 12 0 & -143 & 43 & 53 & | & 23 0 & -3 & 6 & 12 & | & -3 0 & -53 & -53 & 163 & | & 0

Passo 6

Agora, vamos eliminar o 6 & 2 & 2 & -1 & | & 12 0 & 1 & -27 & -514 & | & -17 0 & -3 & 6 & 12 & | & -3 0 & -53 & -53 & 163 & | & 0 das linhas 3 e 4. Primeiro, vamos simplificar a linha 2 para facilitar os cálculos.
Multiplicamos a linha 2 por para que o coeficiente de seja 1.

Passo 7

Agora, eliminamos 6 & 2 & 2 & -1 & | & 12 0 & 1 & -27 & -514 & | & -17 0 & 0 & 407 & 114 & | & -247 0 & 0 & -2521 & 1314 & | & -521 das linhas 3 e 4 usando a linha 2.
  • Linha 3:
  • Linha 4:
Após essas operações:

Passo 8

Agora, vamos simplificar a linha 3 dividindo todos os termos por 6 & 2 & 2 & -1 & | & 12 0 & 1 & -27 & -514 & | & -17 0 & 0 & 1 & 140 & | & -2440 0 & 0 & -2521 & 1314 & | & -521 para tornar o coeficiente de igual a 1.

Passo 9

Simplificando a linha 3:
6 & 2 & 2 & -1 & | & 12 0 & 1 & -27 & -514 & | & -17 0 & 0 & 1 & 140 & | & -35 0 & 0 & -2521 & 1314 & | & -521

Passo 10

Agora, eliminamos 6 & 2 & 2 & -1 & | & 12 0 & 1 & -27 & -514 & | & -17 0 & 0 & 1 & 140 & | & -35 0 & 0 & 0 & 1314 + 2521 times 140 & | & -521 + 2521 times (-35) da linha 4 usando a linha 3.
  • Linha 4: 6 & 2 & 2 & -1 & | & 12 0 & 1 & -27 & -514 & | & -17 0 & 0 & 1 & 140 & | & -35 0 & 0 & 0 & 1314 + 25840 & | & -521 - 75105
Após a operação:
6 & 2 & 2 & -1 & | & 12 0 & 1 & -27 & -514 & | & -17 0 & 0 & 1 & 140 & | & -35 0 & 0 & 0 & 1 & | & -1
Simplificando os cálculos:
Calculando os termos:

Passo 11

Agora que temos a última variável x4 = -1 isolada, podemos começar a substituir os valores encontrados de baixo para cima.
Da linha 4:

Passo 12

Substituímos x3 + 140(-1) = -35 x3 - 140 = -35 x3 = -35 + 140 x3 = -2440 + 140 x3 = -2340 na linha 3 para encontrar :

Passo 13

Agora, substituímos x2 - 27(-2340) - 514(-1) = -17 x2 + 46280 + 514 = -17 x2 + 23140 + 50140 = -20140 x2 + 73140 = -20140 x2 = -20140 - 73140 x2 = -93140 e na linha 2 para encontrar :

Passo 14

Por fim, substituímos 6x1 + 2(-93140) + 2(-2340) - (-1) = 12 6x1 - 186140 - 4640 + 1 = 12 6x1 - 9370 - 2320 + 1 = 12 6x1 - 9370 - 161140 + 1 = 12 6x1 - 93 + 161140 + 1 = 12 6x1 - 254140 + 1 = 12 6x1 - 12770 + 1 = 12 6x1 + (-12770 + 7070) = 12 6x1 - 5770 = 12 6x1 = 12 + 5770 6x1 = 84070 + 5770 6x1 = 89770 x1 = 89770 times 6 x1 = 897420 x1 = 299140 e na linha 1 para encontrar :

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = dfrac299140 x2 = -dfrac93140 x3 = -dfrac2340 x4 = -1

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