Ache P3(x) interpolando os pontos:
|c|c|c|c|c| hline$x$ & -3 & 0 & 2 & 4 hline$f(x)$ & -4 & -2 & -1 & 3 hline -3 0 2 4
-4 -2 -1 3
Pela Forma de Lagrange; (1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntando os pontos dados e encontrando o polinômio de interpolação de Lagrange, que no caso é o . A matéria aqui é interpolação polinomial, especificamente usando a fórmula de Lagrange. Para isso, vamos precisar dos pontos fornecidos e entender como aplicar a fórmula de Lagrange para encontrar nosso polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o polinômio de Lagrange. A fórmula de Lagrange permite construir um polinômio que passa exatamente pelos pontos dados. A fórmula geral para um polinômio de grau P(x) = sumi=0^n-1 f(xi) cdot Li(x) que interpola Li(x) = prodsubstackj=0 j neq i^n-1 x - xjxi - xj pontos é:
Onde cada é o polinômio de base de Lagrange definido por:

Passo 3

No nosso caso, temos 4 pontos: , , e . Então, e o polinômio será de grau 3. Vamos calcular cada para .

Passo 4

Vamos calcular L0(x) = (x - x1)(x - x2)(x - x3)(x0 - x1)(x0 - x2)(x0 - x3) :
L0(x) = (x - 0)(x - 2)(x - 4)(-3 - 0)(-3 - 2)(-3 - 4) = x(x - 2)(x - 4)(-3)(-5)(-7) = x(x - 2)(x - 4)-105
Substituindo os valores:

Passo 5

Agora, vamos calcular L1(x) = (x - x0)(x - x2)(x - x3)(x1 - x0)(x1 - x2)(x1 - x3) :
L1(x) = (x + 3)(x - 2)(x - 4)(0 + 3)(0 - 2)(0 - 4) = (x + 3)(x - 2)(x - 4)(3)(-2)(-4) = (x + 3)(x - 2)(x - 4)24
Substituindo os valores:

Passo 6

Em seguida, vamos calcular L2(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x3)(x2 - x0)(x2 - x1)(x2 - x3) :
L2(x) = (x + 3)(x - 0)(x - 4)(2 + 3)(2 - 0)(2 - 4) = (x + 3)x(x - 4)(5)(2)(-2) = (x + 3)x(x - 4)-20
Substituindo os valores:

Passo 7

Finalmente, vamos calcular L3(x) = (x - x0)(x - x1)(x - x2)(x3 - x0)(x3 - x1)(x3 - x2) :
L3(x) = (x + 3)(x - 0)(x - 2)(4 + 3)(4 - 0)(4 - 2) = (x + 3)x(x - 2)(7)(4)(2) = (x + 3)x(x - 2)56
Substituindo os valores:

Passo 8

Agora que temos todos os P3(x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + f(x2)L2(x) + f(x3)L3(x) , podemos montar o polinômio P3(x) = (-4) cdot x(x - 2)(x - 4)-105 + (-2) cdot (x + 3)(x - 2)(x - 4)24 + (-1) cdot (x + 3)x(x - 4)-20 + 3 cdot (x + 3)x(x - 2)56 usando a fórmula de Lagrange:
Substituindo os valores de :

Passo 9

Vamos simplificar cada termo:
P3(x) = 4x(x - 2)(x - 4)105 - 2(x + 3)(x - 2)(x - 4)24 + (x + 3)x(x - 4)20 + 3(x + 3)x(x - 2)56
Para facilitar, podemos calcular cada fração separadamente e depois somar os resultados. No entanto, isso pode ser bastante trabalhoso sem uma calculadora, então normalmente deixamos o polinômio nesse formato simplificado.

Resposta

O polinômio de interpolação P3(x) = 4x(x - 2)(x - 4)105 - 2(x + 3)(x - 2)(x - 4)24 + (x + 3)x(x - 4)20 + 3(x + 3)x(x - 2)56 usando a forma de Lagrange é:

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