Dada a função f(x)=x^3+3 x^2-x+2 :
Determinar a raiz da função no intervalo I=[-4,-3] pelo Método de Newton-Raphson com x0=-3,8 e E <= 10^-4 ;(0,5 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem a função e precisa encontrar uma raiz dessa função no intervalo usando o Método de Newton-Raphson. Para isso, vamos começar com uma estimativa inicial e queremos que o erro seja menor ou igual a .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o Método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de xn+1 = xn - f(xn)f'(xn) onde . A fórmula básica do Método de Newton-Raphson é:
Aqui, é a derivada da função .

Passo 3

Vamos calcular a derivada da nossa função f'(x) = ddx(x^3 + 3x^2 - x + 2) = 3x^2 + 6x - 1 :

Passo 4

Agora, vamos aplicar o Método de Newton-Raphson começando com x1 = x0 - f(x0)f'(x0) . Vamos calcular f(-3,8) = (-3,8)^3 + 3(-3,8)^2 - (-3,8) + 2 usando a fórmula:
(-3,8)^3 = -54,872, 3(-3,8)^2 = 3 times 14,44 = 43,32
Primeiro, calculamos - (-3,8) = 3,8, Então, f(-3,8) = -54,872 + 43,32 + 3,8 + 2 = -5,752 :
f'(-3,8) = 3(-3,8)^2 + 6(-3,8) - 1 = 3 times 14,44 + (-22,8) - 1 = 43,32 - 22,8 - 1 = 19,52
Calculando passo a passo:
x1 = -3,8 - -5,75219,52 = -3,8 + 0,294 = -3,506
ã
Agora, calculamos :
Então,

Passo 5

Vamos repetir o processo para encontrar f(-3,506) = (-3,506)^3 + 3(-3,506)^2 - (-3,506) + 2 :
(-3,506)^3 approx -43,128, 3(-3,506)^2 approx 3 times 12,542 = 37,626
Calculando:
- (-3,506) = 3,506, Então, f(-3,506) approx -43,128 + 37,626 + 3,506 + 2 = -0, // Aproximadamente
f'(-3,506) = 3(-3,506)^2 + 6(-3,506) - 1 approx 3 times 12,542 + (-21,036) - 1 approx 37,626 - 21,036 - 1 = 15,590 ã
E a derivada:
x2 = -3,506 - -015,590 approx -3,506
Então,

Resposta

Assim, a raiz da função no intervalo encontrada pelo Método de Newton-Raphson com e é aproximadamente .

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