Dê o valor da integral definida:
I=integral-4^1(x^2+2 x-3) d x
Pelo método dos Trapézios, com n=6 e n=8 ;(1,0 ponto)

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que calcular o valor da integral definida:
I = integral-4^1(x^2 + 2x - 3) dx
Vamos usar o método dos Trapézios para aproximar o valor dessa integral. Esse método faz parte do estudo de Cálculo Integral, especificamente para aproximação de integrais definidas. Para aplicar o método, precisaremos dividir o intervalo de integração em partes iguais, chamadas de subintervalos. Neste caso, vamos fazer isso com e subintervalos.

Passo 2

O método dos Trapézios aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo de integração em I approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + dots + 2f(xn-1) + f(xn) ] trapézios. A fórmula para a aproximação é:
onde:
  • é a largura de cada subintervalo,
  • e são os limites de integração,
  • é a função que está sendo integrada,
  • são os pontos de divisão do intervalo.

Passo 3

Vamos calcular primeiro para a = -4, b = 1 .
Para h = b - an = 1 - (-4)6 = 56 approx 0,8333 :
  1. Determinar xi = a + i cdot h para i = 0, 1, 2, dots, 6 e x0 = -4, x1 approx -4 + 0,8333 = -3,1667 :
    x2 approx -3,1667 + 0,8333 = -2,3333
  2. Calcular x3 approx -2,3333 + 0,8333 = -1,5000 :
    x4 approx -1,5000 + 0,8333 = -0,6667
  3. Encontrar os pontos x5 approx -0,6667 + 0,8333 = 0,1667 :
    x6 = 1
    Calculando cada f(x) = x^2 + 2x - 3 :
    f(x0) = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5
    f(x1) approx (-3,1667)^2 + 2(-3,1667) - 3 approx 10,0278 - 6,3334 - 3 approx 0,6944
    f(x2) approx (-2,3333)^2 + 2(-2,3333) - 3 approx 5,4444 - 4,6666 - 3 approx -2,2222
    f(x3) = (-1,5)^2 + 2(-1,5) - 3 = 2,25 - 3 - 3 = -3,75
    f(x4) approx (-0,6667)^2 + 2(-0,6667) - 3 approx 0,4444 - 1,3334 - 3 approx -3,8890
    f(x5) approx (0,1667)^2 + 2(0,1667) - 3 approx 0,0278 + 0,3334 - 3 approx -2,6388
  4. Calcular f(x6) = (1)^2 + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0 para cada I approx h2 [ f(x0) + 2(f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5)) + f(x6) ] :
    I approx 0,83332 [ 5 + 2(0,6944 - 2,2222 - 3,75 - 3,8890 - 2,6388) + 0 ]
    Calculando:
    I approx 0,41665 [ 5 + 2(-11,9956) ] = 0,41665 [ 5 - 23,9912 ] = 0,41665 times (-18,9912) approx -7,9127
  5. Aplicar a fórmula dos Trapézios:
    Substituindo os valores:

Passo 4

Agora, vamos calcular para h = b - an = 1 - (-4)8 = 58 = 0,625 .
Para xi = a + i cdot h para i = 0, 1, 2, dots, 8 :
  1. Determinar x0 = -4, x1 = -4 + 0,625 = -3,375 :
    x2 = -3,375 + 0,625 = -2,75
  2. Encontrar os pontos x3 = -2,75 + 0,625 = -2,125 :
    x4 = -2,125 + 0,625 = -1,5
    Calculando cada x5 = -1,5 + 0,625 = -0,875 :
    x6 = -0,875 + 0,625 = -0,25
    x7 = -0,25 + 0,625 = 0,375
    x8 = 1
    f(x) = x^2 + 2x - 3
    f(x0) = (-4)^2 + 2(-4) - 3 = 16 - 8 - 3 = 5
    f(x1) = (-3,375)^2 + 2(-3,375) - 3 = 11,3906 - 6,75 - 3 = 1,6406
    f(x2) = (-2,75)^2 + 2(-2,75) - 3 = 7,5625 - 5,5 - 3 = -1,9375
    f(x3) = (-2,125)^2 + 2(-2,125) - 3 = 4,5156 - 4,25 - 3 = -2,7344
  3. Calcular f(x4) = (-1,5)^2 + 2(-1,5) - 3 = 2,25 - 3 - 3 = -3,75 para cada f(x5) = (-0,875)^2 + 2(-0,875) - 3 = 0,7656 - 1,75 - 3 = -4,0 :
    f(x6) = (-0,25)^2 + 2(-0,25) - 3 = 0,0625 - 0,5 - 3 = -3,4375
    Calculando:
    f(x7) = (0,375)^2 + 2(0,375) - 3 = 0,1406 + 0,75 - 3 = -2,1094
    f(x8) = (1)^2 + 2(1) - 3 = 1 + 2 - 3 = 0
    I approx h2 [ f(x0) + 2(f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5) + f(x6) + f(x7)) + f(x8) ]
    I approx 0,6252 [ 5 + 2(1,6406 - 1,9375 - 2,7344 - 3,75 - 4,0 - 3,4375 - 2,1094) + 0 ]
    I approx 0,3125 [ 5 + 2(-16,1793) ] = 0,3125 [ 5 - 32,3586 ] = 0,3125 times (-27,3586) approx -8,5443
  4. Aplicar a fórmula dos Trapézios:
    Substituindo os valores:

Resposta

Usando o método dos Trapézios, a aproximação da integral definida I approx -7,9127 é:
  • Para I approx -8,5443 :
  • Para :

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