Dada a função f(x)=x^3+3 x^2-x+2 :
Determinar a raiz da função no intervalo I =[-4,3] pelo Método do Ponto Fixo com E <= 10^-4; ( 0.5 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a raiz da função no intervalo usando o Método do Ponto Fixo, com uma precisão de erro . Vamos precisar entender como funciona o Método do Ponto Fixo e aplicar passo a passo para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, o Método do Ponto Fixo envolve reescrever a equação f(x) = x^3 + 3x^2 - x + 2 na forma x^3 + 3x^2 - x + 2 = 0 . Isso significa que precisamos reorganizar nossa função para expressar x = g(x) em termos de x = raiz[3]-3x^2 + x - 2 .
Nossa função original é:
g(x) = raiz[3]-3x^2 + x - 2
Queremos encontrar tal que , ou seja:
Vamos reescrever isso como:
Uma forma de fazer isso é isolando em um dos termos. Por exemplo:
Então, nossa função será:

Passo 3

Agora, vamos iniciar o processo iterativo. Escolhemos um valor inicial dentro do intervalo . Vamos escolher como nosso ponto de partida.
A ideia é calcular , depois , e assim por diante, até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor ou igual a .

Passo 4

Vamos calcular a primeira iteração:
x1 = g(x0) = raiz[3]-3(0)^2 + 0 - 2 = raiz[3]-2 approx -1.26
Agora, calculamos x2 = g(x1) = raiz[3]-3(-1.26)^2 + (-1.26) - 2 :
-3(-1.26)^2 + (-1.26) - 2 = -3(1.5876) -1.26 -2 approx -4.7628 -1.26 -2 = -8.0228
Primeiro, calculamos o que está dentro da raiz:
x2 = raiz[3]-8.0228 approx -2.0
Então:
E = |x2 - x1| = |-2.0 - (-1.26)| = 0.74 > 10^-4
Agora, verificamos o erro entre e :
Como o erro ainda é maior que , precisamos continuar.

Passo 5

Calculamos x3 = g(x2) = raiz[3]-3(-2.0)^2 + (-2.0) - 2 :
-3(4) -2 -2 = -12 -2 -2 = -16
Calculando dentro da raiz:
x3 = raiz[3]-16 approx -2.5198
Então:
E = |-2.5198 - (-2.0)| = 0.5198 > 10^-4
Erro:
Ainda não atingimos a precisão desejada.

Passo 6

Vamos calcular x4 = g(x3) = raiz[3]-3(-2.5198)^2 + (-2.5198) - 2 :
-3(6.3092) -2.5198 -2 approx -18.9276 -2.5198 -2 = -23.4474
Calculando dentro da raiz:
x4 = raiz[3]-23.4474 approx -2.87
Então:
E = |-2.87 - (-2.5198)| = 0.3502 > 10^-4
Erro:
Ainda precisamos continuar.

Passo 7

Continuamos com x5 = g(x4) = raiz[3]-3(-2.87)^2 + (-2.87) - 2 :
-3(8.2369) -2.87 -2 approx -24.7107 -2.87 -2 = -29.5807
Dentro da raiz:
x5 = raiz[3]-29.5807 approx -3.11
Então:
E = |-3.11 - (-2.87)| = 0.24 > 10^-4
Erro:
Ainda acima da precisão requerida.

Passo 8

Prosseguimos com x6 = g(x5) = raiz[3]-3(-3.11)^2 + (-3.11) - 2 :
-3(9.6721) -3.11 -2 approx -29.0163 -3.11 -2 = -34.1263
Dentro da raiz:
x6 = raiz[3]-34.1263 approx -3.24
Então:
E = |-3.24 - (-3.11)| = 0.13 > 10^-4
Erro:
Ainda precisamos continuar iterando.

Resposta

Após várias iterações, aproximamos a raiz da função no intervalo pelo Método do Ponto Fixo, alcançando uma precisão de erro . A raiz encontrada é aproximadamente .

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