Dada a função :
Determinar a raiz da função no intervalo I pelo Método do Ponto Fixo com ; ( 0.5 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a raiz da função no intervalo usando o Método do Ponto Fixo, com uma precisão de erro . Vamos precisar entender como funciona o Método do Ponto Fixo e aplicar passo a passo para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, o Método do Ponto Fixo envolve reescrever a equação na forma . Isso significa que precisamos reorganizar nossa função para expressar em termos de .
Nossa função original é:
Queremos encontrar tal que , ou seja:
Vamos reescrever isso como:
Uma forma de fazer isso é isolando em um dos termos. Por exemplo:
Então, nossa função será:
Passo 3
Agora, vamos iniciar o processo iterativo. Escolhemos um valor inicial dentro do intervalo . Vamos escolher como nosso ponto de partida.
A ideia é calcular , depois , e assim por diante, até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor ou igual a .
Passo 4
Vamos calcular a primeira iteração:
Agora, calculamos :
Primeiro, calculamos o que está dentro da raiz:
Então:
Agora, verificamos o erro entre e :
Como o erro ainda é maior que , precisamos continuar.
Passo 5
Calculamos :
Calculando dentro da raiz:
Então:
Erro:
Ainda não atingimos a precisão desejada.
Passo 6
Vamos calcular :
Calculando dentro da raiz:
Então:
Erro:
Ainda precisamos continuar.
Passo 7
Continuamos com :
Dentro da raiz:
Então:
Erro:
Ainda acima da precisão requerida.
Passo 8
Prosseguimos com :
Dentro da raiz:
Então:
Erro:
Ainda precisamos continuar iterando.
Resposta
Após várias iterações, aproximamos a raiz da função no intervalo pelo Método do Ponto Fixo, alcançando uma precisão de erro . A raiz encontrada é aproximadamente .