Dada a função :
Determinar a raiz da função no intervalo I pelo Método do Ponto Fixo com ; ( 0.5 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a raiz da função no intervalo usando o Método do Ponto Fixo, com uma precisão de erro . Vamos precisar entender como funciona o Método do Ponto Fixo e aplicar passo a passo para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, o Método do Ponto Fixo envolve reescrever a equação na forma . Isso significa que precisamos reorganizar nossa função para expressar em termos de .
Nossa função original é:
Queremos encontrar tal que , ou seja:
Vamos reescrever isso como:
Uma forma de fazer isso é isolando em um dos termos. Por exemplo:
Então, nossa função será:

Passo 3

Agora, vamos iniciar o processo iterativo. Escolhemos um valor inicial dentro do intervalo . Vamos escolher como nosso ponto de partida.
A ideia é calcular , depois , e assim por diante, até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor ou igual a .

Passo 4

Vamos calcular a primeira iteração:
Agora, calculamos :
Primeiro, calculamos o que está dentro da raiz:
Então:
Agora, verificamos o erro entre e :
Como o erro ainda é maior que , precisamos continuar.

Passo 5

Calculamos :
Calculando dentro da raiz:
Então:
Erro:
Ainda não atingimos a precisão desejada.

Passo 6

Vamos calcular :
Calculando dentro da raiz:
Então:
Erro:
Ainda precisamos continuar.

Passo 7

Continuamos com :
Dentro da raiz:
Então:
Erro:
Ainda acima da precisão requerida.

Passo 8

Prosseguimos com :
Dentro da raiz:
Então:
Erro:
Ainda precisamos continuar iterando.

Resposta

Após várias iterações, aproximamos a raiz da função no intervalo pelo Método do Ponto Fixo, alcançando uma precisão de erro . A raiz encontrada é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Ache interpolando os pontos:
-3 0 2 4
-4 -2 -1 3
Pela Forma de Lagrange; (1,0 ponto)
Dada a função :
Determinar a raiz da função no intervalo pelo Método da Secante com , e ponto)
Dê o valor da integral definida:
Pelo método dos Trapézios, com e ponto)
Ache a solução do Sistema Linear:
Pelo Método de Gauss-Seidel (1,0 ponto)