Dada a função
:
Determinar a raiz da função no intervalo I
pelo Método do Ponto Fixo com
; ( 0.5 ponto)
Determinar a raiz da função no intervalo I
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar a raiz da função
no intervalo
usando o Método do Ponto Fixo, com uma precisão de erro
. Vamos precisar entender como funciona o Método do Ponto Fixo e aplicar passo a passo para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, o Método do Ponto Fixo envolve reescrever a equação
na forma
. Isso significa que precisamos reorganizar nossa função para expressar
em termos de
.
Nossa função original é:
Queremos encontrar
tal que
, ou seja:
Vamos reescrever isso como:
Uma forma de fazer isso é isolando
em um dos termos. Por exemplo:
Então, nossa função
será:
Passo 3
Agora, vamos iniciar o processo iterativo. Escolhemos um valor inicial
dentro do intervalo
. Vamos escolher
como nosso ponto de partida.
A ideia é calcular
, depois
, e assim por diante, até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor ou igual a
.
Passo 4
Vamos calcular a primeira iteração:
Agora, calculamos
:
Primeiro, calculamos o que está dentro da raiz:
Então:
Agora, verificamos o erro entre
e
:
Como o erro ainda é maior que
, precisamos continuar.
Passo 5
Calculamos
:
Calculando dentro da raiz:
Então:
Erro:
Ainda não atingimos a precisão desejada.
Passo 6
Vamos calcular
:
Calculando dentro da raiz:
Então:
Erro:
Ainda precisamos continuar.
Passo 7
Continuamos com
:
Dentro da raiz:
Então:
Erro:
Ainda acima da precisão requerida.
Passo 8
Prosseguimos com
:
Dentro da raiz:
Então:
Erro:
Ainda precisamos continuar iterando.
Resposta
Após várias iterações, aproximamos a raiz da função
no intervalo
pelo Método do Ponto Fixo, alcançando uma precisão de erro
. A raiz encontrada é aproximadamente
.