Ache
interpolando os pontos:
|
-1 | 0 | 2 | 4 |
---|---|---|---|---|
|
-5 | 2 | 1 | -1 |
Pela Forma de Lagrange; (1,0 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de interpolação
que passa pelos pontos dados usando a Forma de Lagrange. A matéria aqui é Interpolação Polinomial, e para isso vamos precisar da fórmula de Lagrange, que ajuda a montar o polinômio que passa exatamente pelos pontos que a gente tem.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da Forma de Lagrange para interpolar
pontos. No nosso caso, são 4 pontos, então
. A fórmula geral é:
Onde cada
é chamado de polinômio base de Lagrange e é definido por:
Isso significa que para cada ponto
, a gente cria um polinômio
que vale 1 em
e 0 nos outros
.
Passo 3
Vamos identificar os pontos que a gente tem:
Agora, vamos construir cada
para
.
Passo 4
Para
:
Para
:
Para
:
Para
:
Passo 5
Agora que temos todos os
, vamos montar o polinômio
usando a fórmula de Lagrange:
Substituindo os valores:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
Simplificando mais:
Passo 7
Agora, podemos expandir cada termo e somar tudo para obter o polinômio final. Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, expandimos
:
Então:
Vamos expandir
:
Então:
Agora,
:
Então:
E por último,
:
Então:
Passo 8
Agora, somamos todos os termos expandidos:
Vamos calcular cada tipo de potência de
:
Termos de
:
Termos de
:
Termos de
:
Termo constante:
Passo 9
Finalmente, juntando tudo:
Podemos simplificar os coeficientes se quisermos, mas essa já é a forma completa do polinômio de interpolação.
Resposta
O polinômio de interpolação
é dado por: