Ache interpolando os pontos:
-1 0 2 4
-5 2 1 -1
Pela Forma de Lagrange; (1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de interpolação que passa pelos pontos dados usando a Forma de Lagrange. A matéria aqui é Interpolação Polinomial, e para isso vamos precisar da fórmula de Lagrange, que ajuda a montar o polinômio que passa exatamente pelos pontos que a gente tem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da Forma de Lagrange para interpolar pontos. No nosso caso, são 4 pontos, então . A fórmula geral é:
Onde cada é chamado de polinômio base de Lagrange e é definido por:
Isso significa que para cada ponto , a gente cria um polinômio que vale 1 em e 0 nos outros .

Passo 3

Vamos identificar os pontos que a gente tem:
Agora, vamos construir cada para .

Passo 4

Para :
Para :
Para :
Para :

Passo 5

Agora que temos todos os , vamos montar o polinômio usando a fórmula de Lagrange:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
Simplificando mais:

Passo 7

Agora, podemos expandir cada termo e somar tudo para obter o polinômio final. Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, expandimos :
Então:
Vamos expandir :
Então:
Agora, :
Então:
E por último, :
Então:

Passo 8

Agora, somamos todos os termos expandidos:
Vamos calcular cada tipo de potência de :
Termos de :
Termos de :
Termos de :
Termo constante:

Passo 9

Finalmente, juntando tudo:
Podemos simplificar os coeficientes se quisermos, mas essa já é a forma completa do polinômio de interpolação.

Resposta

O polinômio de interpolação é dado por:

Exercícios relacionados

Calcule uma aproximação para a integral
ajustando, via MMQ, o integrando dessa integral por uma função da forma
usando os pontos do conjunto . Trabalhe com 4 casas decimais em todo processo de resolução.
Considere a tabela
-1.5 -1.0 -0.9 -0.4 0.4 0.7 1.1 1.9
0.74 0.45 0.37 0.11 0.10 0.23 0.46 0.95
por uma função da forma
e obtenha uma aproximação para a integral
Trabalhe com 4 casas decimais em todo processo de resolução.
Ache interpolando os pontos:
-1 0 2 4
-5 2 1 -1
Pela Forma de Newton; (1,0 ponto)
Dada a função :
Determinar a raiz da função no intervalo pelo Método de Newton-Raphson com 0,2 e s ; ( ponto)