Ache P3(x) interpolando os pontos:
x -1 0 2 4
f(x) -5 2 1 -1
Pela Forma de Lagrange; (1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar o polinômio de interpolação que passa pelos pontos dados usando a Forma de Lagrange. A matéria aqui é Interpolação Polinomial, e para isso vamos precisar da fórmula de Lagrange, que ajuda a montar o polinômio que passa exatamente pelos pontos que a gente tem.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a fórmula da Forma de Lagrange para interpolar Pn(x) = sumi=0^n f(xi) cdot Li(x) pontos. No nosso caso, são 4 pontos, então Li(x) = prodsubstack0 <= j <= n j neq i x - xjxi - xj . A fórmula geral é:
Onde cada é chamado de polinômio base de Lagrange e é definido por:
Isso significa que para cada ponto , a gente cria um polinômio que vale 1 em e 0 nos outros .

Passo 3

Vamos identificar os pontos que a gente tem:
|c|c| hline x & f(x) hline -1 & -5 0 & 2 2 & 1 4 & -1 hline
Agora, vamos construir cada para .

Passo 4

Para L0(x) = (x - 0)(x - 2)(x - 4)(-1 - 0)(-1 - 2)(-1 - 4) = (x)(x - 2)(x - 4)(-1)(-3)(-5) = x(x - 2)(x - 4)-15 :
L1(x) = (x - (-1))(x - 2)(x - 4)(0 - (-1))(0 - 2)(0 - 4) = (x + 1)(x - 2)(x - 4)(1)(-2)(-4) = (x + 1)(x - 2)(x - 4)8
Para L2(x) = (x - (-1))(x - 0)(x - 4)(2 - (-1))(2 - 0)(2 - 4) = (x + 1)x(x - 4)(3)(2)(-2) = (x + 1)x(x - 4)-12 :
L3(x) = (x - (-1))(x - 0)(x - 2)(4 - (-1))(4 - 0)(4 - 2) = (x + 1)x(x - 2)(5)(4)(2) = (x + 1)x(x - 2)40
Para :
Para :

Passo 5

Agora que temos todos os P3(x) = f(x0)L0(x) + f(x1)L1(x) + f(x2)L2(x) + f(x3)L3(x) , vamos montar o polinômio P3(x) = (-5) cdot x(x - 2)(x - 4)-15 + 2 cdot (x + 1)(x - 2)(x - 4)8 + 1 cdot (x + 1)x(x - 4)-12 + (-1) cdot (x + 1)x(x - 2)40 usando a fórmula de Lagrange:
Substituindo os valores:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:
P3(x) = 53x(x - 2)(x - 4) + 28(x + 1)(x - 2)(x - 4) - 112(x + 1)x(x - 4) - 140(x + 1)x(x - 2)
Simplificando mais:
P3(x) = 53x(x - 2)(x - 4) + 14(x + 1)(x - 2)(x - 4) - 112(x + 1)x(x - 4) - 140(x + 1)x(x - 2)

Passo 7

Agora, podemos expandir cada termo e somar tudo para obter o polinômio final. Vamos fazer isso passo a passo.
Primeiro, expandimos x(x - 2)(x - 4) = x(x^2 - 6x + 8) = x^3 - 6x^2 + 8x :
53(x^3 - 6x^2 + 8x) = 53x^3 - 10x^2 + 403x
Então:
(x + 1)(x - 2)(x - 4) = (x^2 - x - 2)(x - 4) = x^3 - 5x^2 + 6x + 8
Vamos expandir 14(x^3 - 5x^2 + 6x + 8) = 14x^3 - 54x^2 + 32x + 2 :
(x + 1)x(x - 4) = x(x^2 - 3x - 4) = x^3 - 3x^2 - 4x
Então:
- 112(x^3 - 3x^2 - 4x) = -112x^3 + 14x^2 + 13x
Agora, (x + 1)x(x - 2) = x(x^2 - x - 2) = x^3 - x^2 - 2x :
- 140(x^3 - x^2 - 2x) = -140x^3 + 140x^2 + 120x
Então:
E por último, :
Então:

Passo 8

Agora, somamos todos os termos expandidos:
P3(x) = (53x^3) + (14x^3) - (112x^3) - (140x^3) + (-10x^2) + (-54x^2) + (14x^2) + (140x^2) + (403x) + (32x) + (13x) + (120x) + 2
Vamos calcular cada tipo de potência de 53 + 14 - 112 - 140 = 200120 + 30120 - 10120 - 3120 = 217120 = 217120x^3 :
Termos de -10 - 54 + 14 + 140 = -10 - 1 + 140 = -11 + 140 = -43940x^2 :
403 + 32 + 13 + 120 = 403 + 96 + 26 + 120 = 403 + 116 + 120 = 80060 + 11060 + 360 = 91360x
Termos de 2 :
Termos de :
Termo constante:

Passo 9

Finalmente, juntando tudo:
P3(x) = 217120x^3 - 43940x^2 + 91360x + 2
Podemos simplificar os coeficientes se quisermos, mas essa já é a forma completa do polinômio de interpolação.

Resposta

O polinômio de interpolação P3(x) = 217120x^3 - 43940x^2 + 91360x + 2 é dado por:

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