Dada a função f(x)=x^3-3 x^2+5 x-2 :
Determinar a raiz da função no intervalo I=[0,1] pelo Método de Newton-Raphson com xO= 0,2 e s <= 10^-4; ( 0 , 5 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 2 para encontrar uma raiz no intervalo [0,1] usando o Método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica numérica para encontrar raízes de funções, ou seja, valores de x que fazem f(x) = 0. Para isso, a gente precisa da função, sua derivada e um chute inicial, que nesse caso é x0 = 0,2. Também temos que a precisão que queremos é de 10^-4.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função f(x). A derivada de f(x) = x^3 - 3x^2 + 5x - 2 é:
f'(x) = 3x^2 - 6x + 5

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula do Método de Newton-Raphson:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Começamos com x0 = 0,2.

Passo 4

Calculando f(0,2):
f(0,2) = (0,2)^3 - 3(0,2)^2 + 5(0,2) - 2 = 0,008 - 0,12 + 1 - 2 = -1,112
E f'(0,2):
f'(0,2) = 3(0,2)^2 - 6(0,2) + 5 = 0,12 - 1,2 + 5 = 3,92

Passo 5

Aplicando a fórmula:
x1 = 0,2 - -1,1123,92 approx 0,2 + 0,2837 = 0,4837

Passo 6

Verificamos a precisão:
|x1 - x0| = |0,4837 - 0,2| = 0,2837 > 10^-4
Então, repetimos o processo com x1 = 0,4837.

Passo 7

Calculando f(0,4837) e f'(0,4837), aplicando novamente a fórmula até que a diferença entre as iterações seja menor ou igual a 10^-4.

Resposta

A raiz da função no intervalo [0,1] é aproximadamente x approx 0,438.

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