Ache P3(x) interpolando os pontos:
x -1 0 2 4
f(x) -5 2 1 -1
Pela Forma de Newton; (1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema pede pra gente encontrar o polinômio interpolador de grau 3, chamado P3(x), que passa por quatro pontos específicos usando a Forma de Newton. Para resolver isso, vamos usar o método das diferenças divididas de Newton, que ajuda a construir o polinômio passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os pontos que a gente tem:
c|c x & f(x) hline -1 & -5 0 & 2 2 & 1 4 & -1

Passo 3

Agora, vamos construir uma tabela de diferenças divididas. Esse método nos permite calcular os coeficientes do polinômio de Newton de forma organizada.

Passo 4

Começamos calculando as diferenças de primeira ordem usando a fórmula:
f[xi, xi+1] = f(xi+1) - f(xi)xi+1 - xi
Aplicando aos nossos pontos:
f[-1,0] = 2 - (-5)0 - (-1) = 71 = 7
f[0,2] = 1 - 22 - 0 = -12 = -0,5
f[2,4] = -1 - 14 - 2 = -22 = -1

Passo 5

Em seguida, calculamos as diferenças de segunda ordem:
f[xi, xi+1, xi+2] = f[xi+1,xi+2] - f[xi,xi+1]xi+2 - xi
Para os nossos pontos:
f[-1,0,2] = -0,5 - 72 - (-1) = -7,53 = -2,5
f[0,2,4] = -1 - (-0,5)4 - 0 = -0,54 = -0,125

Passo 6

Por fim, calculamos a diferença de terceira ordem:
f[-1,0,2,4] = -0,125 - (-2,5)4 - (-1) = 2,3755 = 0,475

Passo 7

Agora, montamos o polinômio de Newton usando as diferenças divididas que calculamos:
P3(x) = f[-1] + f[-1,0](x - (-1)) + f[-1,0,2](x - (-1))(x - 0) + f[-1,0,2,4](x - (-1))(x - 0)(x - 2)
Substituindo os valores:
P3(x) = -5 + 7(x + 1) - 2,5(x + 1)x + 0,475(x + 1)x(x - 2)

Resposta

O polinômio interpolador de Newton é:
P3(x) = -5 + 7(x + 1) - 2,5(x + 1)x + 0,475(x + 1)x(x - 2)

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