Considere a tabela
|
-1.5 | -1.0 | -0.9 | -0.4 | 0.4 | 0.7 | 1.1 | 1.9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
0.74 | 0.45 | 0.37 | 0.11 | 0.10 | 0.23 | 0.46 | 0.95 |
por uma função da forma
e obtenha uma aproximação para a integral
Trabalhe com 4 casas decimais em todo processo de resolução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores de
e
, e queremos achar uma função do tipo
que melhor se ajusta aos dados. Depois disso, vamos calcular uma aproximação para a integral dessa função no intervalo de
a
. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo e ajuste de funções. Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender como ajustar a função aos dados. Temos a expressão da função:
Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
que fazem essa função se aproximar o máximo possível dos valores de
dados na tabela. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que procura minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da tabela e os valores da função.
Passo 3
Vamos montar as equações para encontrar
e
. Para cada par
, temos:
Podemos rearranjar para isolar
:
Vamos escolher dois pontos da tabela para criar um sistema de equações. Por exemplo, usando
e
:
Para
:
Para
:
Como não temos
na tabela, vamos escolher outro ponto, por exemplo,
:
Para
:
Agora temos duas equações:
Passo 4
Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação:
Substituindo
na segunda equação:
Calculando:
Multiplicando ambos os lados por
:
Distribuindo:
Isolando
:
Calculando os valores numéricos (usando
e
):
Agora, substituindo
na expressão para
:
Passo 5
Agora que temos os valores de
e
, nossa função ajustada é:
Vamos agora calcular a integral dessa função de
a
:
Para resolver essa integral, podemos usar métodos numéricos, como a regra dos trapézios ou Simpson, já que a integral não tem uma solução analítica simples.
Vamos usar a regra dos trapézios com subdivisões suficientes para obter uma boa aproximação.
Passo 6
Aplicando a regra dos trapézios, dividimos o intervalo
em
segmentos de largura
.
Os pontos são:
Calculamos
em cada ponto:
Aplicando a regra dos trapézios:
Substituindo os valores:
Calculando dentro dos parênteses:
Multiplicando por
:
Resposta
A aproximação para a integral
é aproximadamente
.
Exercícios relacionados
Ajuste a função tabelada abaixo
|
-2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|---|
|
-0.8751 | -0.4130 | 0.6931 | 0.8856 | 0.9528 |
por uma funçåo da forma
e obtenha uma aproximação para
. Trabalhe com 4 casas decimais em todo processo de resolução.
Resolver pelo método de eliminação de Gauss e pelo método de eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial o sistema linear abaixo. Usar representação em ponto flutuante com 3 algarismos significativos.
Calcule uma aproximação para a integral
ajustando, via MMQ, o integrando dessa integral por uma função da forma
usando os pontos do conjunto
. Trabalhe com 4 casas decimais em todo processo de resolução.
Ache
interpolando os pontos:
|
-1 | 0 | 2 | 4 |
---|---|---|---|---|
|
-5 | 2 | 1 | -1 |
Pela Forma de Lagrange; (1,0 ponto)