Considere a tabela
x -1.5 -1.0 -0.9 -0.4 0.4 0.7 1.1 1.9
f(x) 0.74 0.45 0.37 0.11 0.10 0.23 0.46 0.95
por uma função da forma
f(x)=a x^2b+e^-x
e obtenha uma aproximação para a integral
integral-1.5^1.5 f(x) d x
Trabalhe com 4 casas decimais em todo processo de resolução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores de f(x) = a x^2b + e^-x e , e queremos achar uma função do tipo
que melhor se ajusta aos dados. Depois disso, vamos calcular uma aproximação para a integral dessa função no intervalo de a . Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo e ajuste de funções. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como ajustar a função aos dados. Temos a expressão da função:
f(x) = a x^2b + e^-x
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem essa função se aproximar o máximo possível dos valores de dados na tabela. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que procura minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da tabela e os valores da função.

Passo 3

Vamos montar as equações para encontrar f(xi) = a xi^2b + e^-xi e a = f(xi) cdot b + e^-xixi^2 . Para cada par 0.45 = a cdot (-1.0)^2b + e^1.0 Rightarrow 0.45 = ab + e , temos:
f(1.0) = a cdot (1.0)^2b + e^-1.0 Rightarrow f(1.0) = ab + 1e
Podemos rearranjar para isolar 0.23 = a cdot (0.7)^2b + e^-0.7 Rightarrow 0.23 = 0.49ab + e^-0.7 :
0.45 = ab + e 0.23 = 0.49ab + e^-0.7
Vamos escolher dois pontos da tabela para criar um sistema de equações. Por exemplo, usando e :
Para :
Para :
Como não temos na tabela, vamos escolher outro ponto, por exemplo, :
Para :
Agora temos duas equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação:
a = 0.45(b + e)
Substituindo 0.23 = 0.49 cdot 0.45(b + e)b + e^-0.7 na segunda equação:
0.23 = 0.2205(b + e)b + e^-0.7
Calculando:
0.23(b + e^-0.7) = 0.2205(b + e)
Multiplicando ambos os lados por 0.23b + 0.23 e^-0.7 = 0.2205b + 0.2205 e :
0.23b - 0.2205b = 0.2205 e - 0.23 e^-0.7
Distribuindo:
0.0095b = 0.2205 e - 0.23 e^-0.7
Isolando 0.0095b = 0.2205 times 2.7183 - 0.23 times 0.4966 :
0.0095b = 0.5994 - 0.1141
0.0095b = 0.4853
Calculando os valores numéricos (usando b = 0.48530.0095 approx 51.11 e a = 0.45(b + e) = 0.45(51.11 + 2.7183) = 0.45 times 53.8283 approx 24.2287 ):
Agora, substituindo na expressão para :

Passo 5

Agora que temos os valores de f(x) = 24.2287 , x^251.11 + e^-x e integral-1.5^1.5 24.2287 , x^251.11 + e^-x , dx , nossa função ajustada é:
Vamos agora calcular a integral dessa função de a :
Para resolver essa integral, podemos usar métodos numéricos, como a regra dos trapézios ou Simpson, já que a integral não tem uma solução analítica simples.
Vamos usar a regra dos trapézios com subdivisões suficientes para obter uma boa aproximação.

Passo 6

Aplicando a regra dos trapézios, dividimos o intervalo x0 = -1.5, x1 = -1.0, x2 = -0.5, x3 = 0.0, x4 = 0.5, x5 = 1.0, x6 = 1.5 em f(x0) = 24.2287 times (-1.5)^251.11 + e^1.5 approx 24.2287 times 2.2551.11 + 4.4817 approx 54.515255.5917 approx 0.9808 segmentos de largura f(x1) = 24.2287 times (-1.0)^251.11 + e^1.0 approx 24.2287 times 151.11 + 2.7183 approx 24.228753.8283 approx 0.4494 .
Os pontos são:
f(x2) = 24.2287 times (-0.5)^251.11 + e^0.5 approx 24.2287 times 0.2551.11 + 1.6487 approx 6.057252.7587 approx 0.1146
Calculamos f(x3) = 24.2287 times 0.0^251.11 + e^0 = 0 em cada ponto:
f(x4) = 24.2287 times 0.5^251.11 + e^-0.5 approx 24.2287 times 0.2551.11 + 0.6065 approx 6.057251.7165 approx 0.1171
f(x5) = 24.2287 times 1.0^251.11 + e^-1.0 approx 24.2287 times 151.11 + 0.3679 approx 24.228751.4779 approx 0.4703
f(x6) = 24.2287 times 1.5^251.11 + e^-1.5 approx 24.2287 times 2.2551.11 + 0.2231 approx 54.514151.3331 approx 1.0617
integral-1.5^1.5 f(x) dx approx h2 [ f(x0) + 2(f(x1) + f(x2) + f(x3) + f(x4) + f(x5)) + f(x6) ]
approx 0.52 [ 0.9808 + 2(0.4494 + 0.1146 + 0 + 0.1171 + 0.4703) + 1.0617 ]
0.9808 + 2(1.1514) + 1.0617 = 0.9808 + 2.3028 + 1.0617 = 4.3453
0.25 times 4.3453 approx 1.0863
Aplicando a regra dos trapézios:
Substituindo os valores:
Calculando dentro dos parênteses:
Multiplicando por :

Resposta

A aproximação para a integral é aproximadamente .

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