Considere a tabela
-1.5 -1.0 -0.9 -0.4 0.4 0.7 1.1 1.9
0.74 0.45 0.37 0.11 0.10 0.23 0.46 0.95
por uma função da forma
e obtenha uma aproximação para a integral
Trabalhe com 4 casas decimais em todo processo de resolução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores de e , e queremos achar uma função do tipo
que melhor se ajusta aos dados. Depois disso, vamos calcular uma aproximação para a integral dessa função no intervalo de a . Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo e ajuste de funções. Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender como ajustar a função aos dados. Temos a expressão da função:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que fazem essa função se aproximar o máximo possível dos valores de dados na tabela. Para isso, vamos usar o método dos mínimos quadrados, que procura minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da tabela e os valores da função.

Passo 3

Vamos montar as equações para encontrar e . Para cada par , temos:
Podemos rearranjar para isolar :
Vamos escolher dois pontos da tabela para criar um sistema de equações. Por exemplo, usando e :
Para :
Para :
Como não temos na tabela, vamos escolher outro ponto, por exemplo, :
Para :
Agora temos duas equações:

Passo 4

Vamos resolver esse sistema de equações. Da primeira equação:
Substituindo na segunda equação:
Calculando:
Multiplicando ambos os lados por :
Distribuindo:
Isolando :
Calculando os valores numéricos (usando e ):
Agora, substituindo na expressão para :

Passo 5

Agora que temos os valores de e , nossa função ajustada é:
Vamos agora calcular a integral dessa função de a :
Para resolver essa integral, podemos usar métodos numéricos, como a regra dos trapézios ou Simpson, já que a integral não tem uma solução analítica simples.
Vamos usar a regra dos trapézios com subdivisões suficientes para obter uma boa aproximação.

Passo 6

Aplicando a regra dos trapézios, dividimos o intervalo em segmentos de largura .
Os pontos são:
Calculamos em cada ponto:
Aplicando a regra dos trapézios:
Substituindo os valores:
Calculando dentro dos parênteses:
Multiplicando por :

Resposta

A aproximação para a integral é aproximadamente .

Exercícios relacionados

Ajuste a função tabelada abaixo
-2 -1 0 1 2
-0.8751 -0.4130 0.6931 0.8856 0.9528
por uma funçåo da forma
e obtenha uma aproximação para . Trabalhe com 4 casas decimais em todo processo de resolução.
Resolver pelo método de eliminação de Gauss e pelo método de eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial o sistema linear abaixo. Usar representação em ponto flutuante com 3 algarismos significativos.
Calcule uma aproximação para a integral
ajustando, via MMQ, o integrando dessa integral por uma função da forma
usando os pontos do conjunto . Trabalhe com 4 casas decimais em todo processo de resolução.
Ache interpolando os pontos:
-1 0 2 4
-5 2 1 -1
Pela Forma de Lagrange; (1,0 ponto)