Calcule uma aproximação para a integral
ajustando, via MMQ, o integrando dessa integral por uma função da forma
usando os pontos do conjunto . Trabalhe com 4 casas decimais em todo processo de resolução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma aproximação para a integral
Usando o método dos mínimos quadrados (MMQ), vamos ajustar a função que está dentro da integral por uma função mais simples do tipo
Para isso, vamos utilizar os pontos do conjunto . Ao longo do caminho, vamos manter todas as contas com 4 casas decimais para garantir a precisão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados (MMQ). Esse método serve para encontrar os melhores valores dos coeficientes ( , , ) que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da função original e da função ajustada nos pontos escolhidos.
Ou seja, queremos minimizar
onde e .

Passo 3

Vamos montar o sistema de equações para encontrar , e . Para isso, calculamos os valores de e montamos as equações baseadas nos pontos de .
Primeiro, calculamos para cada em :

Passo 4

Agora, vamos montar as equações baseadas na forma da função ajustada para cada ponto de :
Para :
Como e , simplificamos:
Repetimos esse processo para os demais pontos:
Para :
Para :
Como e , temos:
Para :
Para :

Passo 5

Agora, organizamos essas equações em uma matriz para resolver o sistema pelo método dos mínimos quadrados. A matriz fica assim:

[


]
Vamos calcular os valores de , , e com 4 casas decimais:
Substituindo na matriz:

[


]

Passo 6

Para resolver esse sistema pelo método dos mínimos quadrados, usamos a fórmula:
Onde é a matriz dos coeficientes e é o vetor dos resultados. Vamos calcular e .
Primeiro, calculamos :
Calculando cada elemento:
Agora, calculamos :
Calculando cada elemento:

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula para encontrar os coeficientes:
Calculando a inversa de :
Multiplicando pela matriz :
Portanto, os coeficientes são aproximadamente:

Passo 8

Com os coeficientes encontrados, nossa função ajustada fica:
Agora, vamos calcular a integral aproximada substituindo na integral original:
Integrando termo a termo:
Somando os resultados:

Resposta

A aproximação para a integral é aproximadamente .

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Considere a tabela
-1.5 -1.0 -0.9 -0.4 0.4 0.7 1.1 1.9
0.74 0.45 0.37 0.11 0.10 0.23 0.46 0.95
por uma função da forma
e obtenha uma aproximação para a integral
Trabalhe com 4 casas decimais em todo processo de resolução.
Ajuste a função tabelada abaixo
-2 -1 0 1 2
-0.8751 -0.4130 0.6931 0.8856 0.9528
por uma funçåo da forma
e obtenha uma aproximação para . Trabalhe com 4 casas decimais em todo processo de resolução.
Ache interpolando os pontos:
-1 0 2 4
-5 2 1 -1
Pela Forma de Lagrange; (1,0 ponto)
Ache interpolando os pontos:
-1 0 2 4
-5 2 1 -1
Pela Forma de Newton; (1,0 ponto)