ajustando, via MMQ, o integrando dessa integral por uma função da forma
usando os pontos do conjunto . Trabalhe com 4 casas decimais em todo processo de resolução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma aproximação para a integral
Usando o método dos mínimos quadrados (MMQ), vamos ajustar a função que está dentro da integral por uma função mais simples do tipo
Para isso, vamos utilizar os pontos do conjunto . Ao longo do caminho, vamos manter todas as contas com 4 casas decimais para garantir a precisão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados (MMQ). Esse método serve para encontrar os melhores valores dos coeficientes (, , ) que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da função original e da função ajustada nos pontos escolhidos.
Ou seja, queremos minimizar
onde e .
Passo 3
Vamos montar o sistema de equações para encontrar , e . Para isso, calculamos os valores de e montamos as equações baseadas nos pontos de .
Primeiro, calculamos para cada em :
Passo 4
Agora, vamos montar as equações baseadas na forma da função ajustada para cada ponto de :
Para :
Como e , simplificamos:
Repetimos esse processo para os demais pontos:
Para :
Para :
Como e , temos:
Para :
Para :
Passo 5
Agora, organizamos essas equações em uma matriz para resolver o sistema pelo método dos mínimos quadrados. A matriz fica assim:
[
]
Vamos calcular os valores de , , e com 4 casas decimais:
Substituindo na matriz:
[
]
Passo 6
Para resolver esse sistema pelo método dos mínimos quadrados, usamos a fórmula:
Onde é a matriz dos coeficientes e é o vetor dos resultados. Vamos calcular e .
Primeiro, calculamos :
Calculando cada elemento:
Agora, calculamos :
Calculando cada elemento:
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula para encontrar os coeficientes:
Calculando a inversa de :
Multiplicando pela matriz :
Portanto, os coeficientes são aproximadamente:
Passo 8
Com os coeficientes encontrados, nossa função ajustada fica:
Agora, vamos calcular a integral aproximada substituindo na integral original: