Calcule uma aproximação para a integral
integral-1^1 cosh (e^-x^2) d x
ajustando, via MMQ, o integrando dessa integral por uma função da forma
tildef(x)=a1+a2 cos (x)+a3 sen(x)
usando os pontos do conjunto S=-1,-0.5,0,0.5,1. Trabalhe com 4 casas decimais em todo processo de resolução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma aproximação para a integral
integral-1^1 cosh (e^-x^2) dx
Usando o método dos mínimos quadrados (MMQ), vamos ajustar a função que está dentro da integral por uma função mais simples do tipo
Para isso, vamos utilizar os pontos do conjunto tildef(x) = a1 + a2 cos(x) + a3 sen(x) . Ao longo do caminho, vamos manter todas as contas com 4 casas decimais para garantir a precisão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados (MMQ). Esse método serve para encontrar os melhores valores dos coeficientes ( a1, a2, a3) que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da função original e da função ajustada nos pontos escolhidos.
Ou seja, queremos minimizar
sumi=1^n [ f(xi) - tildef(xi) ]^2
onde f(x) = cosh (e^-x^2) e .

Passo 3

Vamos montar o sistema de equações para encontrar a1, a2 e a3. Para isso, calculamos os valores de f(x) e montamos as equações baseadas nos pontos de S.
Primeiro, calculamos f(x) para cada x em S:
c|c x & f(x) = cosh (e^-x^2) hline -1 & cosh (e^-1) approx 1.5431 -0.5 & cosh (e^-0.25) approx 1.1276 0 & cosh (e^0) = cosh(1) approx 1.5431 0.5 & cosh (e^-0.25) approx 1.1276 1 & cosh (e^-1) approx 1.5431

Passo 4

Agora, vamos montar as equações baseadas na forma da função ajustada tildef(x) para cada ponto de S:
Para x = -1:
Como a1 + a2 cos(-1) + a3 sen(-1) = 1.5431 e , simplificamos:
Repetimos esse processo para os demais pontos:
Para cos(-x) = cos(x):
Para sen(-x) = -sen(x):
Como a1 + a2 cos(1) - a3 sen(1) = 1.5431 e , temos:
x = -0.5
Para a1 + a2 cos(0.5) - a3 sen(0.5) = 1.1276 :
Para x = 0:

Passo 5

Agora, organizamos essas equações em uma matriz para resolver o sistema pelo método dos mínimos quadrados. A matriz fica assim:

[

1 & cos(1) & -sen(1) 1 & cos(0.5) & -sen(0.5) 1 & 1 & 0 1 & cos(0.5) & sen(0.5) 1 & cos(1) & sen(1) a1 a2 a3 = 1.5431 1.1276 1.5431 1.1276 1.5431

cos(1)
]
Vamos calcular os valores de sen(1), , cos(0.5) e com 4 casas decimais:
Substituindo na matriz:

[
sen(0.5)
cos(1) approx 0.5403, sen(1) approx 0.8415

cos(0.5) approx 0.8776, sen(0.5) approx 0.4794
]

Passo 6

Para resolver esse sistema pelo método dos mínimos quadrados, usamos a fórmula:
a = (A^T A)^-1 A^T b
Onde A é a matriz dos coeficientes e b é o vetor dos resultados. Vamos calcular A^T A e A^T b.
Primeiro, calculamos A^T A:
A^T A = 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0.5403 & 0.8776 & 1.0000 & 0.8776 & 0.5403 -0.8415 & -0.4794 & 0 & 0.4794 & 0.8415 1 & 0.5403 & -0.8415 1 & 0.8776 & -0.4794 1 & 1.0000 & 0 1 & 0.8776 & 0.4794 1 & 0.5403 & 0.8415
Calculando cada elemento:
A^T A = 5 & 3.8358 & 0 3.8358 & 3.0858 & 0.0000 0 & 0.0000 & 1.6149
Agora, calculamos A^T b:
A^T b = 1 & 1 & 1 & 1 & 1 0.5403 & 0.8776 & 1.0000 & 0.8776 & 0.5403 -0.8415 & -0.4794 & 0 & 0.4794 & 0.8415 1.5431 1.1276 1.5431 1.1276 1.5431
Calculando cada elemento:
A^T b = 1.5431 times 5 = 7.7155 0.5403 times 1.5431 + 0.8776 times 1.1276 + 1.0000 times 1.5431 + 0.8776 times 1.1276 + 0.5403 times 1.5431 approx 7.0099 -0.8415 times 1.5431 + (-0.4794) times 1.1276 + 0 times 1.5431 + 0.4794 times 1.1276 + 0.8415 times 1.5431 approx 0

Passo 7

Agora, aplicamos a fórmula para encontrar os coeficientes:
a = (A^T A)^-1 A^T b
Calculando a inversa de A^T A:
(A^T A)^-1 = 5 & 3.8358 & 0 3.8358 & 3.0858 & 0.0000 0 & 0.0000 & 1.6149 ^-1 approx 0.6296 & -0.7840 & 0 -0.7840 & 1.0253 & 0 0 & 0 & 0.6192
Multiplicando pela matriz A^T b:
a = 0.6296 & -0.7840 & 0 -0.7840 & 1.0253 & 0 0 & 0 & 0.6192 7.7155 7.0099 0 approx 0.6296 times 7.7155 + (-0.7840) times 7.0099 -0.7840 times 7.7155 + 1.0253 times 7.0099 0.6192 times 0 approx 4.8583 - 5.5063 -6.0499 + 7.1920 0 approx -0.6480 1.1421 0
Portanto, os coeficientes são aproximadamente:
a1 approx -0.6480, a2 approx 1.1421, a3 approx 0

Passo 8

Com os coeficientes encontrados, nossa função ajustada fica:
tildef(x) = -0.6480 + 1.1421 cos(x)
Agora, vamos calcular a integral aproximada substituindo tildef(x) na integral original:
integral-1^1 tildef(x) dx = integral-1^1 ( -0.6480 + 1.1421 cos(x) ) dx
Integrando termo a termo:
integral-1^1 -0.6480 , dx = -0.6480 times (1 - (-1)) = -0.6480 times 2 = -1.2960
Somando os resultados:
integral-1^1 1.1421 cos(x) , dx = 1.1421 times (sen(1) - sen(-1)) = 1.1421 times (0.8415 - (-0.8415)) = 1.1421 times 1.6830 approx 1.9233

Resposta

A aproximação para a integral é aproximadamente 0.6273.

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