ajustando, via MMQ, o integrando dessa integral por uma função da forma
usando os pontos do conjunto . Trabalhe com 4 casas decimais em todo processo de resolução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular uma aproximação para a integral
Usando o método dos mínimos quadrados (MMQ), vamos ajustar a função que está dentro da integral por uma função mais simples do tipo
Para isso, vamos utilizar os pontos do conjunto . Ao longo do caminho, vamos manter todas as contas com 4 casas decimais para garantir a precisão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o método dos mínimos quadrados (MMQ). Esse método serve para encontrar os melhores valores dos coeficientes (, , ) que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre os valores da função original e da função ajustada nos pontos escolhidos.
Ou seja, queremos minimizar
onde e .
Passo 3
Vamos montar o sistema de equações para encontrar , e . Para isso, calculamos os valores de e montamos as equações baseadas nos pontos de .
Primeiro, calculamos para cada em :
Passo 4
Agora, vamos montar as equações baseadas na forma da função ajustada para cada ponto de :
Para :
Como e , simplificamos:
Repetimos esse processo para os demais pontos:
Para :
Para :
Como e , temos:
Para :
Para :
Passo 5
Agora, organizamos essas equações em uma matriz para resolver o sistema pelo método dos mínimos quadrados. A matriz fica assim:
[
cos(1)
]
Vamos calcular os valores de sen(1), , cos(0.5) e com 4 casas decimais:
A^T b = 1.5431 times 5 = 7.7155 0.5403 times 1.5431 + 0.8776 times 1.1276 + 1.0000 times 1.5431 + 0.8776 times 1.1276 + 0.5403 times 1.5431 approx 7.0099 -0.8415 times 1.5431 + (-0.4794) times 1.1276 + 0 times 1.5431 + 0.4794 times 1.1276 + 0.8415 times 1.5431 approx 0
Passo 7
Agora, aplicamos a fórmula para encontrar os coeficientes: