a) Ache o polinômio
de grau-3 com raiz nula que satisfaz
Passo 1
Vamos resolver um exercício de álgebra sobre polinômios. Precisamos encontrar um polinômio
de grau 3, com raiz em zero, que satisfaz a equação
para todo
. Para isso, vamos utilizar conceitos de polinômios e propriedades de raízes.
Passo 2
Primeiro, sabemos que
é um polinômio de grau 3 com raiz em zero. Isso significa que
, então podemos escrever
na forma
, onde
é um polinômio de grau 2.
Passo 3
Agora, vamos substituir
por
na equação dada:
E a equação original fica:
Passo 4
Vamos reorganizar essa equação para isolar
:
Para que essa fração seja um polinômio, o numerador precisa ser divisível por
. Isso implica que o numerador avaliado em
deve ser zero.
Passo 5
Vamos substituir
no numerador:
Portanto,
.
Passo 6
Sabemos que
é um polinômio de grau 2, então podemos escrevê-lo na forma
. Usando
, temos:
Isso nos dá uma equação:
.
Passo 7
Voltando à equação:
Substituindo
, temos:
Expandindo:
Simplificando:
Passo 8
Igualando os dois lados da equação:
Simplificando o lado direito:
Para que essa divisão seja exata, o dividendo deve ser um múltiplo de
.
Passo 9
Aplicando o teorema do resto, avaliamos o dividendo em
e igualamos a zero:
Sabemos que
, então:
A condição é satisfeita.
Passo 10
Agora, igualamos os coeficientes dos polinômios:
- Coeficiente de
: - Coeficiente de
: - Termo constante:
Resolvendo:
-
⇒ ⇒ - Substituindo
em :
- Usando
:
Resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
Então,
.
Passo 11
Agora que temos
,
e
, podemos escrever
:
E, portanto,
é:
Resposta
O polinômio procurado é
.
Exercícios relacionados
d) Se
são números primos e
prove que
Determine o valor de
dado que
e
.
Localize as raízes das equações a seguir:
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Localize as raízes das equações a seguir:
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.