a) Ache o polinômio de grau-3 com raiz nula que satisfaz

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra sobre polinômios. Precisamos encontrar um polinômio de grau 3, com raiz em zero, que satisfaz a equação para todo . Para isso, vamos utilizar conceitos de polinômios e propriedades de raízes.

Passo 2

Primeiro, sabemos que é um polinômio de grau 3 com raiz em zero. Isso significa que , então podemos escrever na forma , onde é um polinômio de grau 2.

Passo 3

Agora, vamos substituir por na equação dada:
E a equação original fica:

Passo 4

Vamos reorganizar essa equação para isolar :
Para que essa fração seja um polinômio, o numerador precisa ser divisível por . Isso implica que o numerador avaliado em deve ser zero.

Passo 5

Vamos substituir no numerador:
Portanto, .

Passo 6

Sabemos que é um polinômio de grau 2, então podemos escrevê-lo na forma . Usando , temos:
Isso nos dá uma equação: .

Passo 7

Voltando à equação:
Substituindo , temos:
Expandindo:
Simplificando:

Passo 8

Igualando os dois lados da equação:
Simplificando o lado direito:
Para que essa divisão seja exata, o dividendo deve ser um múltiplo de .

Passo 9

Aplicando o teorema do resto, avaliamos o dividendo em e igualamos a zero:
Sabemos que , então:
A condição é satisfeita.

Passo 10

Agora, igualamos os coeficientes dos polinômios:
  • Coeficiente de :
  • Coeficiente de :
  • Termo constante:
Resolvendo:
  1. Substituindo em :
  1. Usando :
Resolvendo o sistema:
Somando as duas equações:
Então, .

Passo 11

Agora que temos , e , podemos escrever :
E, portanto, é:

Resposta

O polinômio procurado é .

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d) Se são números primos e prove que
Determine o valor de dado que e .
Localize as raízes das equações a seguir:
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
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Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.