a) Ache o polinômio f(x) in R[x] de grau-3 com raiz nula que satisfaz f(x-1)=f(x)+(3 x)^2 forall x in R

Passo 1

Vamos resolver um exercício de álgebra sobre polinômios. Precisamos encontrar um polinômio f(x) de grau 3, com raiz em zero, que satisfaz a equação f(x-1) = f(x) + (3x)^2 para todo x in R. Para isso, vamos utilizar conceitos de polinômios e propriedades de raízes.

Passo 2

Primeiro, sabemos que f(x) é um polinômio de grau 3 com raiz em zero. Isso significa que f(0) = 0, então podemos escrever f(x) na forma f(x) = x cdot g(x), onde g(x) é um polinômio de grau 2.

Passo 3

Agora, vamos substituir f(x) por x cdot g(x) na equação dada:
f(x-1) = (x - 1) cdot g(x - 1)
E a equação original fica:
(x - 1) cdot g(x - 1) = x cdot g(x) + (3x)^2

Passo 4

Vamos reorganizar essa equação para isolar g(x - 1):
g(x - 1) = x cdot g(x) + 9x^2x - 1
Para que essa fração seja um polinômio, o numerador precisa ser divisível por x - 1. Isso implica que o numerador avaliado em x = 1 deve ser zero.

Passo 5

Vamos substituir x = 1 no numerador:
1 cdot g(1) + 9(1)^2 = g(1) + 9 = 0
Portanto, g(1) = -9.

Passo 6

Sabemos que g(x) é um polinômio de grau 2, então podemos escrevê-lo na forma g(x) = ax^2 + bx + c. Usando g(1) = -9, temos:
a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c = -9
Isso nos dá uma equação: a + b + c = -9.

Passo 7

Voltando à equação:
g(x - 1) = x cdot g(x) + 9x^2x - 1
Substituindo g(x) = ax^2 + bx + c, temos:
g(x - 1) = a(x - 1)^2 + b(x - 1) + c
Expandindo:
a(x^2 - 2x + 1) + b(x - 1) + c = a x^2 - 2a x + a + b x - b + c
Simplificando:
a x^2 + (-2a + b) x + (a - b + c)

Passo 8

Igualando os dois lados da equação:
a x^2 + (-2a + b) x + (a - b + c) = x (a x^2 + b x + c) + 9x^2x - 1
Simplificando o lado direito:
a x^3 + b x^2 + c x + 9x^2x - 1 = a x^3 + (b + 9) x^2 + c xx - 1
Para que essa divisão seja exata, o dividendo deve ser um múltiplo de x - 1.

Passo 9

Aplicando o teorema do resto, avaliamos o dividendo em x = 1 e igualamos a zero:
a (1)^3 + (b + 9)(1)^2 + c (1) = a + b + 9 + c = 0
Sabemos que a + b + c = -9, então:
-9 + 9 = 0
A condição é satisfeita.

Passo 10

Agora, igualamos os coeficientes dos polinômios:
  • Coeficiente de x^2: a = a
  • Coeficiente de x: -2a + b = b + 9
  • Termo constante: a - b + c = 0
Resolvendo:
  1. -2a + b = b + 9 -2a = 9 a = -92
  2. Substituindo a em a + b + c = -9:
-92 + b + c = -9
b + c = -92
  1. Usando a - b + c = 0:
-92 - b + c = 0
-c + b = -92
Resolvendo o sistema:
b + c = -92
-b + c = 92
Somando as duas equações:
2c = 0 ⇒ c = 0
Então, b = -92.

Passo 11

Agora que temos a, b e c, podemos escrever g(x):
g(x) = -92x^2 - 92x
E, portanto, f(x) é:
f(x) = x cdot g(x) = x ( -92x^2 - 92x ) = -92x^3 - 92x^2

Resposta

O polinômio procurado é f(x) = -dfrac92x^3 - dfrac92x^2.

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