Localize as raízes das equações a seguir:
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para localizar as raízes da equação
. Isso significa que queremos encontrar os valores de
que tornam essa equação verdadeira. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções logarítmicas e análise de funções, além de técnicas para encontrar raízes de equações não lineares.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise:
Agora, nossa missão é encontrar o valor de
que satisfaz essa igualdade.
Passo 3
Vamos analisar a função
para entender seu comportamento. Sabemos que o logaritmo natural,
, está definido para
. Além disso:
- Quando
se aproxima de 0, tende a , mas multiplicando por que tende a 0, o produto tende a 0. - Quando
, , então . - À medida que
aumenta além de 1, cresce lentamente, então também aumenta.
Isso sugere que a função
começa em 0 quando
e cresce continuamente para valores maiores que 1 à medida que
aumenta.
Passo 4
Queremos encontrar
tal que
. Vamos testar alguns valores de
para ver onde essa igualdade ocorre:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Ops, parece que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos corrigir:
- Para
:
- Para
:
Então,
passa de menor que 1 para maior que 1 entre
e
.
Passo 5
Como a função
é contínua e crescente nesse intervalo, e observamos que
e
, pelo Teorema de Bolzano, existe exatamente um valor de
entre 1.75 e 1.8 que satisfaz
.
Resposta
A equação
possui exatamente uma raiz no intervalo
.
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a) Ache o polinômio
de grau-3 com raiz nula que satisfaz
d) Se
são números primos e
prove que
Localize as raízes das equações a seguir:
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Localize as raízes das equações a seguir:
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.