Localize as raízes das equações a seguir: 1-x ln (x)=0
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para localizar as raízes da equação . Isso significa que queremos encontrar os valores de que tornam essa equação verdadeira. Para resolver isso, vamos usar conhecimentos de funções logarítmicas e análise de funções, além de técnicas para encontrar raízes de equações não lineares.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise:
1 - x ln(x) = 0 implies x ln(x) = 1
Agora, nossa missão é encontrar o valor de que satisfaz essa igualdade.

Passo 3

Vamos analisar a função para entender seu comportamento. Sabemos que o logaritmo natural, , está definido para . Além disso:
  • Quando se aproxima de 0, tende a , mas multiplicando por que tende a 0, o produto tende a 0.
  • Quando , , então .
  • À medida que aumenta além de 1, cresce lentamente, então também aumenta.
Isso sugere que a função começa em 0 quando e cresce continuamente para valores maiores que 1 à medida que aumenta.

Passo 4

Queremos encontrar 2 ln(2) approx 2 times 0.6931 approx 1.3862 > 1 tal que 1.5 ln(1.5) approx 1.5 times 0.4055 approx 0.6083 < 1 . Vamos testar alguns valores de 1.8 ln(1.8) approx 1.8 times 0.5878 approx 1.058> 1 para ver onde essa igualdade ocorre:
  • Para 1.75 ln(1.75) approx 1.75 times 0.5606 approx 0.981 >1? :
1.75 ln(1.75) approx 1.75 times 0.5596 approx 0.979 approx 0.98 < 1
  • Para 1.8 ln(1.8) approx 1.8 times 0.5878 approx 1.058 > 1 :
  • Para :
  • Para :
Ops, parece que houve um erro nos cálculos anteriores. Vamos corrigir:
  • Para :
  • Para :
Então, passa de menor que 1 para maior que 1 entre e .

Passo 5

Como a função é contínua e crescente nesse intervalo, e observamos que e , pelo Teorema de Bolzano, existe exatamente um valor de entre 1.75 e 1.8 que satisfaz .

Resposta

A equação possui exatamente uma raiz no intervalo .

Exercícios relacionados