Localize as raízes das equações a seguir: 2^x-3 x=0
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.

Passo 1

Então, temos a equação e precisamos encontrar seus valores de que satisfazem essa igualdade. Vamos trabalhar com funções exponenciais e lineares, e para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam e usar alguns métodos para localizar as raízes dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise:
2^x = 3x
Aqui, temos uma função exponencial e uma função linear . Nosso objetivo é encontrar os pontos onde essas duas funções se cruzam, ou seja, onde seus valores são iguais.

Passo 3

Vamos analisar o comportamento das funções:
  • A função cresce exponencialmente, começando em com valor 1 e aumentando rapidamente.
  • A função é uma reta que passa pela origem e cresce de forma constante.

Passo 4

Para encontrar as raízes, vamos procurar os valores de onde e se igualam. Como não conseguimos resolver isso de forma exata, vamos estimar os valores analisando intervalos onde a diferença muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.

Passo 5

Vamos calcular 2^0 - 3 times 0 = 1 - 0 = 1 > 0 para alguns valores de 2^1 - 3 times 1 = 2 - 3 = -1 < 0 :
  • Para 2^2 - 3 times 2 = 4 - 6 = -2 < 0 :
2^3 - 3 times 3 = 8 - 9 = -1 < 0
  • Para 2^4 - 3 times 4 = 16 - 12 = 4 > 0 :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 6

Observamos que a diferença muda de positivo para negativo entre e , e de negativo para positivo entre e . Isso indica que há uma raiz única em cada um desses intervalos.

Passo 7

Para estimar melhor as raízes, podemos refinar os intervalos:
  • Entre 2^0.5 - 3 times 0.5 approx 1.414 - 1.5 = -0.086 < 0 e 2^3.5 - 3 times 3.5 approx 11.313 - 10.5 = 0.813 > 0 :
    • Para :
    • Como em a diferença é positiva e em negativa, a raiz está entre e .
  • Entre e :
    • Para :
    • Como em a diferença é negativa e em positiva, a raiz está entre e .

Passo 8

Podemos continuar refinando esses intervalos para obter aproximações mais precisas:
  • Primeira raiz entre 2^0.2 - 3 times 0.2 approx 1.1487 - 0.6 = 0.5487 > 0 e 2^0.3 - 3 times 0.3 approx 1.2311 - 0.9 = 0.3311 > 0 :
    • Para 2^0.4 - 3 times 0.4 approx 1.3195 - 1.2 = 0.1195 > 0 : 2^0.45 - 3 times 0.45 approx 1.373 - 1.35 = 0.023 > 0
    • Para 2^0.46 - 3 times 0.46 approx 1.377 - 1.38 = -0.003 < 0 : 2^3.2 - 3 times 3.2 approx 9.189 - 9.6 = -0.411 < 0
    • Para 2^3.3 - 3 times 3.3 approx 9.85 - 9.9 = -0.05 < 0 : 2^3.4 - 3 times 3.4 approx 10.556 - 10.2 = 0.356 > 0
    • Para :
    • Para :
    • A raiz está próxima de .
  • Segunda raiz entre e :
    • Para :
    • Para :
    • Para :
    • A raiz está próxima de .

Resposta

As raízes da equação são aproximadamente e , com zeros únicos em seus respectivos intervalos.

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