Localize as raízes das equações a seguir:
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Passo 1
Então, temos a equação
e precisamos encontrar seus valores de
que satisfazem essa igualdade. Vamos trabalhar com funções exponenciais e lineares, e para resolver isso, vamos precisar entender como essas funções se comportam e usar alguns métodos para localizar as raízes dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação para facilitar a análise:
Aqui, temos uma função exponencial
e uma função linear
. Nosso objetivo é encontrar os pontos onde essas duas funções se cruzam, ou seja, onde seus valores são iguais.
Passo 3
Vamos analisar o comportamento das funções:
- A função
cresce exponencialmente, começando em com valor 1 e aumentando rapidamente. - A função
é uma reta que passa pela origem e cresce de forma constante.
Passo 4
Para encontrar as raízes, vamos procurar os valores de
onde
e
se igualam. Como não conseguimos resolver isso de forma exata, vamos estimar os valores analisando intervalos onde a diferença
muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.
Passo 5
Vamos calcular
para alguns valores de
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 6
Observamos que a diferença
muda de positivo para negativo entre
e
, e de negativo para positivo entre
e
. Isso indica que há uma raiz única em cada um desses intervalos.
Passo 7
Para estimar melhor as raízes, podemos refinar os intervalos:
-
Entre
e : - Para
: - Como em
a diferença é positiva e em negativa, a raiz está entre e .
- Para
-
Entre
e : - Para
: - Como em
a diferença é negativa e em positiva, a raiz está entre e .
- Para
Passo 8
Podemos continuar refinando esses intervalos para obter aproximações mais precisas:
-
Primeira raiz entre
e : - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - Para
: - A raiz está próxima de
.
- Para
-
Segunda raiz entre
e : - Para
: - Para
: - Para
: - A raiz está próxima de
.
- Para
Resposta
As raízes da equação
são aproximadamente
e
, com zeros únicos em seus respectivos intervalos.
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