d) Se são números primos e prove que

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que pede para provar que a raiz m-ésima do produto de alguns números primos é um número inteiro. Ou seja, queremos mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre números primos e propriedades das raízes de números inteiros.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que são números primos. Um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo. Por exemplo, 2, 3, 5, 7 são primos.

Passo 3

Agora, vamos pensar na raiz m-ésima. A raiz m-ésima de um número é outro número que, elevado à potência m, dá o número original. Por exemplo, porque .

Passo 4

Para que seja um número inteiro, o produto precisa ser um múltiplo perfeito de , ou seja, cada primo no produto deve aparecer um número de vezes que seja múltiplo de m.

Passo 5

Como os são primos, o único jeito de o produto deles ter uma raiz m-ésima inteira é se cada primo aparece pelo menos m vezes no produto. Isso acontece quando k é múltiplo de m e cada primo está repetido m vezes.

Passo 6

Portanto, se é múltiplo de e os primos se repetem de forma adequada, o produto será um -ésimo perfeito, garantindo que sua raiz seja um número inteiro.

Resposta

Assim, fica provado que é um número inteiro quando cada primo no produto aparece um número de vezes que é múltiplo de .

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