d) Se
são números primos e
prove que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma questão que pede para provar que a raiz m-ésima do produto de alguns números primos
é um número inteiro. Ou seja, queremos mostrar que:
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre números primos e propriedades das raízes de números inteiros.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que são números primos. Um número primo é aquele que tem exatamente dois divisores distintos: 1 e ele mesmo. Por exemplo, 2, 3, 5, 7 são primos.
Passo 3
Agora, vamos pensar na raiz m-ésima. A raiz m-ésima de um número é outro número que, elevado à potência m, dá o número original. Por exemplo,
porque
.
Passo 4
Para que
seja um número inteiro, o produto
precisa ser um múltiplo perfeito de
, ou seja, cada primo no produto deve aparecer um número de vezes que seja múltiplo de m.
Passo 5
Como os
são primos, o único jeito de o produto deles ter uma raiz m-ésima inteira é se cada primo aparece pelo menos m vezes no produto. Isso acontece quando k é múltiplo de m e cada primo está repetido m vezes.
Passo 6
Portanto, se
é múltiplo de
e os primos se repetem de forma adequada, o produto será um
-ésimo perfeito, garantindo que sua raiz seja um número inteiro.
Resposta
Assim, fica provado que
é um número inteiro quando cada primo no produto aparece um número de vezes que é múltiplo de
.
Exercícios relacionados
Determine o valor de
dado que
e
.
Resolva a equação:
a) Ache o polinômio
de grau-3 com raiz nula que satisfaz
Localize as raízes das equações a seguir:
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.
Em todos os caso verifique que os zeros são únicos nos pequenos intervalos.