Ache a raiz da função f(x)=2 x^3+ln x-5 com uma tolerância de varepsilon=10^-7. Apresente o resultado final com seis casas decimais (Sugestão: Construa uma tabela para identificar o intervalo onde a raiz se encontra. Em seguida aplique o método de Newton-Raphson). (R: x^*=1,330839)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a raiz da função com uma tolerância de . Isso significa que queremos um valor de que deixa bem próximo de zero, até a sétima casa decimal. Para isso, vamos usar dois passos principais: primeiro, vamos construir uma tabela para identificar em qual intervalo a raiz está localizada, e depois vamos aplicar o método de Newton-Raphson para encontrar a raiz com a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma tabela com alguns valores de |c|c| hline x & f(x) = 2x^3 + ln x - 5 hline 1 & 2(1)^3 + ln(1) - 5 = 2 + 0 - 5 = -3 1.2 & 2(1.2)^3 + ln(1.2) - 5 approx 2(1.728) + 0.182 - 5 approx 3.456 + 0.182 - 5 = -1.362 1.3 & 2(1.3)^3 + ln(1.3) - 5 approx 2(2.197) + 0.262 - 5 approx 4.394 + 0.262 - 5 = -0.344 1.4 & 2(1.4)^3 + ln(1.4) - 5 approx 2(2.744) + 0.336 - 5 approx 5.488 + 0.336 - 5 = 0.824 hline para ver onde a função muda de sinal, indicando que tem uma raiz nesse intervalo.
Vamos calcular para valores de próximos de onde pensamos que a raiz está:
Vemos que e . Como a função mudou de negativa para positiva entre e , sabemos que a raiz está nesse intervalo.

Passo 3

Agora que sabemos que a raiz está entre 1.3 e 1.4, vamos usar o método de Newton-Raphson para encontrar a raiz com mais precisão. Esse método é uma técnica iterativa que usa derivadas para aproximar a raiz de uma função.
A fórmula do método de Newton-Raphson é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Onde:
  • f'(x) = ddx(2x^3 + ln x - 5) = 6x^2 + 1x é a aproximação atual.
  • é o valor da função na aproximação atual.
  • é o valor da derivada da função na aproximação atual.
Primeiro, vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Vamos escolher um valor inicial f(1.3) approx -0.344 dentro do intervalo que encontramos. Vamos começar com f'(1.3) = 6(1.3)^2 + 11.3 approx 6(1.69) + 0.769 approx 10.14 + 0.769 = 10.909 .
Calculando x1 = 1.3 - -0.34410.909 approx 1.3 + 0.0315 = 1.3315 e :
Agora aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:

Passo 5

Vamos repetir o processo usando f(1.3315) approx 2(1.3315)^3 + ln(1.3315) - 5 approx 2(2.363) + 0.287 - 5 approx 4.726 + 0.287 - 5 = 0.013 :
Calculando f'(1.3315) = 6(1.3315)^2 + 11.3315 approx 6(1.772) + 0.751 approx 10.632 + 0.751 = 11.383 e x2 = 1.3315 - 0.01311.383 approx 1.3315 - 0.0011 = 1.3304 :
Aplicando a fórmula novamente:

Passo 6

Vamos verificar se a tolerância f(1.3304) approx 2(1.3304)^3 + ln(1.3304) - 5 approx 2(2.355) + 0.286 - 5 approx 4.710 + 0.286 - 5 = -0.004 foi atingida. Calculando f'(1.3304) = 6(1.3304)^2 + 11.3304 approx 6(1.770) + 0.752 approx 10.620 + 0.752 = 11.372 :
x3 = 1.3304 - -0.00411.372 approx 1.3304 + 0.00035 = 1.33075
Ainda não atingimos a tolerância necessária, então repetimos o processo com :
Continuamos esse processo até que a diferença entre as iterações seja menor que . Após algumas iterações, chegamos a:

Resposta

x^* = 1,330839

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