Ache a raiz da função com uma tolerância de . Apresente o resultado final com seis casas decimais (Sugestão: Construa uma tabela para identificar o intervalo onde a raiz se encontra. Em seguida aplique o método de Newton-Raphson).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a raiz da função com uma tolerância de . Isso significa que queremos um valor de que deixa bem próximo de zero, até a sétima casa decimal. Para isso, vamos usar dois passos principais: primeiro, vamos construir uma tabela para identificar em qual intervalo a raiz está localizada, e depois vamos aplicar o método de Newton-Raphson para encontrar a raiz com a precisão desejada.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma tabela com alguns valores de para ver onde a função muda de sinal, indicando que tem uma raiz nesse intervalo.
Vamos calcular para valores de próximos de onde pensamos que a raiz está:
Vemos que e . Como a função mudou de negativa para positiva entre e , sabemos que a raiz está nesse intervalo.

Passo 3

Agora que sabemos que a raiz está entre 1.3 e 1.4, vamos usar o método de Newton-Raphson para encontrar a raiz com mais precisão. Esse método é uma técnica iterativa que usa derivadas para aproximar a raiz de uma função.
A fórmula do método de Newton-Raphson é:
Onde:
  • é a aproximação atual.
  • é o valor da função na aproximação atual.
  • é o valor da derivada da função na aproximação atual.
Primeiro, vamos calcular a derivada de :

Passo 4

Vamos escolher um valor inicial dentro do intervalo que encontramos. Vamos começar com .
Calculando e :
Agora aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:

Passo 5

Vamos repetir o processo usando :
Calculando e :
Aplicando a fórmula novamente:

Passo 6

Vamos verificar se a tolerância foi atingida. Calculando :
Ainda não atingimos a tolerância necessária, então repetimos o processo com :
Continuamos esse processo até que a diferença entre as iterações seja menor que . Após algumas iterações, chegamos a:

Resposta

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