Ache a raiz da função
com uma tolerância de
. Apresente o resultado final com seis casas decimais (Sugestão: Construa uma tabela para identificar o intervalo onde a raiz se encontra. Em seguida aplique o método de Newton-Raphson).
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a raiz da função
com uma tolerância de
. Isso significa que queremos um valor de
que deixa
bem próximo de zero, até a sétima casa decimal. Para isso, vamos usar dois passos principais: primeiro, vamos construir uma tabela para identificar em qual intervalo a raiz está localizada, e depois vamos aplicar o método de Newton-Raphson para encontrar a raiz com a precisão desejada.
Passo 2
Primeiro, vamos montar uma tabela com alguns valores de
para ver onde a função muda de sinal, indicando que tem uma raiz nesse intervalo.
Vamos calcular
para valores de
próximos de onde pensamos que a raiz está:
Vemos que
e
. Como a função mudou de negativa para positiva entre
e
, sabemos que a raiz está nesse intervalo.
Passo 3
Agora que sabemos que a raiz está entre 1.3 e 1.4, vamos usar o método de Newton-Raphson para encontrar a raiz com mais precisão. Esse método é uma técnica iterativa que usa derivadas para aproximar a raiz de uma função.
A fórmula do método de Newton-Raphson é:
Onde:
-
é a aproximação atual. -
é o valor da função na aproximação atual. -
é o valor da derivada da função na aproximação atual.
Primeiro, vamos calcular a derivada de
:
Passo 4
Vamos escolher um valor inicial
dentro do intervalo que encontramos. Vamos começar com
.
Calculando
e
:
Agora aplicamos a fórmula de Newton-Raphson:
Passo 5
Vamos repetir o processo usando
:
Calculando
e
:
Aplicando a fórmula novamente:
Passo 6
Vamos verificar se a tolerância
foi atingida. Calculando
:
Ainda não atingimos a tolerância necessária, então repetimos o processo com
:
Continuamos esse processo até que a diferença entre as iterações seja menor que
. Após algumas iterações, chegamos a:
Resposta
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aplicando o método de Newton-Raphson com uma tolerância de
. (R:
)
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. (Sugestão: Construa uma tabela para isolar as raízes e em cada intervalo aplique o método de Newton-Raphson).
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