Encontre as raízes do polinômio
através do método de NewtonRaphson. Utilize uma precisão de
. (Sugestão: Construa uma tabela para isolar as raízes e em cada intervalo aplique o método de Newton-Raphson).
Passo 1
Então, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar as raízes do polinômio
usando o método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica numérica para aproximar raízes de funções. Vamos precisar da derivada do polinômio e definir uma precisão de
.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada de
. A derivada é importante porque o método de Newton-Raphson usa a inclinação da função para aproximar as raízes. Calculando:
Passo 3
Agora, precisamos isolar as possíveis raízes. Vamos montar uma tabela de valores de
para identificar intervalos onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.
Observamos que
muda de positivo para negativo entre
e
, e de negativo para positivo entre
e
. Também notamos que
, ent��o
é uma raiz.
Passo 4
Vamos aplicar o método de Newton-Raphson para encontrar as raízes nos intervalos identificados. A fórmula do método é:
Começamos com uma estimativa inicial
e iteramos até que a diferença entre
e
seja menor que
.
Para o intervalo [1, 2]:
Escolhemos
.
Iteração 1:
Iteração 2:
Iteração 3:
Como a diferença é menor que
, a raiz aproximada é
.
Para o intervalo [2, 3]:
Escolhemos
.
Iteração 1:
Como
saiu do intervalo, vamos tentar outra estimativa inicial, por exemplo,
.
Iteração 1:
Agora,
ainda está próximo ao intervalo original. Continuamos as iterações até alcançar a precisão desejada, chegando a
, que é uma raiz exata.
Resposta
As raízes do polinômio
são aproximadamente
,
e
.