Encontre as raízes do polinômio f(x)=x^3-4 x^2+4 através do método de NewtonRaphson. Utilize uma precisão de varepsilon=10^-3. (Sugestão: Construa uma tabela para isolar as raízes e em cada intervalo aplique o método de Newton-Raphson).

Passo 1

Então, vamos resolver o exercício onde precisamos encontrar as raízes do polinômio usando o método de Newton-Raphson. Esse método é uma técnica numérica para aproximar raízes de funções. Vamos precisar da derivada do polinômio e definir uma precisão de .

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada de f'(x) = 3x^2 - 8x . A derivada é importante porque o método de Newton-Raphson usa a inclinação da função para aproximar as raízes. Calculando:

Passo 3

Agora, precisamos isolar as possíveis raízes. Vamos montar uma tabela de valores de c|c x & f(x) hline 0 & 0^3 - 4 times 0^2 + 4 = 4 1 & 1^3 - 4 times 1^2 + 4 = 1 2 & 2^3 - 4 times 2^2 + 4 = -4 3 & 3^3 - 4 times 3^2 + 4 = 7 4 & 4^3 - 4 times 4^2 + 4 = 20 para identificar intervalos onde a função muda de sinal, indicando a presença de uma raiz.
Observamos que muda de positivo para negativo entre e , e de negativo para positivo entre e . Também notamos que , ent��o é uma raiz.

Passo 4

Vamos aplicar o método de Newton-Raphson para encontrar as raízes nos intervalos identificados. A fórmula do método é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Começamos com uma estimativa inicial f(1.5) = 1.5^3 - 4 times 1.5^2 + 4 = -0.875 e iteramos até que a diferença entre f'(1.5) = 3 times 1.5^2 - 8 times 1.5 = -4.5 e x1 = 1.5 - -0.875-4.5 approx 1.5 - 0.194 approx 1.306 seja menor que f(1.306) approx 1.306^3 - 4 times 1.306^2 + 4 approx 0.053 .
Para o intervalo [1, 2]:
Escolhemos f'(1.306) approx 3 times 1.306^2 - 8 times 1.306 approx -5.211 .
Iteração 1:
x2 = 1.306 - 0.053-5.211 approx 1.306 + 0.010 approx 1.316
f(1.316) approx 1.316^3 - 4 times 1.316^2 + 4 approx -0.001
f'(1.316) approx 3 times 1.316^2 - 8 times 1.316 approx -5.072
Iteração 2:
x3 = 1.316 - -0.001-5.072 approx 1.316 - 0.0002 approx 1.316
f(2.5) = 2.5^3 - 4 times 2.5^2 + 4 = -3.5
f'(2.5) = 3 times 2.5^2 - 8 times 2.5 = -1.25
Iteração 3:
x1 = 2.5 - -3.5-1.25 = 2.5 - 2.8 = -0.3
f(2.2) = 2.2^3 - 4 times 2.2^2 + 4 approx -0.152
f'(2.2) = 3 times 2.2^2 - 8 times 2.2 approx -0.72
Como a diferença é menor que x1 = 2.2 - -0.152-0.72 approx 2.2 - 0.211 approx 1.989 , a raiz aproximada é .
Para o intervalo [2, 3]:
Escolhemos .
Iteração 1:
Como saiu do intervalo, vamos tentar outra estimativa inicial, por exemplo, .
Iteração 1:
Agora, ainda está próximo ao intervalo original. Continuamos as iterações até alcançar a precisão desejada, chegando a , que é uma raiz exata.

Resposta

As raízes do polinômio são aproximadamente , e .

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