Encontre uma aproximação para
aplicando o método de Newton-Raphson com uma tolerância de
. (R:
)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma aproximação para
usando o método de Newton-Raphson com uma tolerância de
. Isso faz parte da matéria de Cálculo Numérico, onde usamos métodos iterativos para encontrar raízes de funções. Para isso, vamos precisar da fórmula do método de Newton-Raphson e entender como aplicá-la passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir a função que queremos resolver. Queremos encontrar
, que é a mesma coisa que resolver
. Então, colocamos isso na forma de uma função:
Queremos encontrar o valor de
que faz
.
Passo 3
Agora, precisamos da derivada dessa função, pois o método de Newton-Raphson usa a derivada para fazer aproximações melhores a cada passo. A derivada de
é:
Passo 4
A fórmula do método de Newton-Raphson é:
Substituindo nossa função e sua derivada, temos:
Simplificando isso, ficamos com:
Passo 5
Vamos começar a iteração. Escolhemos um valor inicial para
, que pode ser uma estimativa próxima. Vamos começar com
.
Calculando
:
Passo 6
Agora, usamos
para encontrar
:
Primeiro, calculamos
, então:
Passo 7
Vamos continuar com
para encontrar
:
Calculando
, então:
Passo 8
Verificamos a diferença entre
e
:
Ainda não atingimos a tolerância de
, então precisamos continuar.
Passo 9
Calculamos
usando
:
Calculando
, então:
Passo 10
Agora, verificamos a diferença entre
e
:
Ainda não chegamos na tolerância desejada, então continuamos.
Passo 11
Calculamos
usando
:
Calculando
, então:
Passo 12
Verificamos a diferença entre
e
:
Ainda não atingimos a tolerância, então seguimos.
Passo 13
Continuamos esse processo até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que
. Após algumas iterações adicionais, alcançamos a aproximação desejada:
Resposta
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. (Sugestão: Construa uma tabela para isolar as raízes e em cada intervalo aplique o método de Newton-Raphson).
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)
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