Encontre uma aproximação para aplicando o método de Newton-Raphson com uma tolerância de . (R: )

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma aproximação para usando o método de Newton-Raphson com uma tolerância de . Isso faz parte da matéria de Cálculo Numérico, onde usamos métodos iterativos para encontrar raízes de funções. Para isso, vamos precisar da fórmula do método de Newton-Raphson e entender como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos resolver. Queremos encontrar , que é a mesma coisa que resolver . Então, colocamos isso na forma de uma função:
Queremos encontrar o valor de que faz .

Passo 3

Agora, precisamos da derivada dessa função, pois o método de Newton-Raphson usa a derivada para fazer aproximações melhores a cada passo. A derivada de é:

Passo 4

A fórmula do método de Newton-Raphson é:
Substituindo nossa função e sua derivada, temos:
Simplificando isso, ficamos com:

Passo 5

Vamos começar a iteração. Escolhemos um valor inicial para , que pode ser uma estimativa próxima. Vamos começar com .
Calculando :

Passo 6

Agora, usamos para encontrar :
Primeiro, calculamos , então:

Passo 7

Vamos continuar com para encontrar :
Calculando , então:

Passo 8

Verificamos a diferença entre e :
Ainda não atingimos a tolerância de , então precisamos continuar.

Passo 9

Calculamos usando :
Calculando , então:

Passo 10

Agora, verificamos a diferença entre e :
Ainda não chegamos na tolerância desejada, então continuamos.

Passo 11

Calculamos usando :
Calculando , então:

Passo 12

Verificamos a diferença entre e :
Ainda não atingimos a tolerância, então seguimos.

Passo 13

Continuamos esse processo até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que . Após algumas iterações adicionais, alcançamos a aproximação desejada:

Resposta

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