Encontre uma aproximação para raiz[4]10 aplicando o método de Newton-Raphson com uma tolerância de varepsilon=10^-6. (R: raiz[4]10=1,77827941 )

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma aproximação para raiz[4]10 usando o método de Newton-Raphson com uma tolerância de varepsilon = 10^-6. Isso faz parte da matéria de Cálculo Numérico, onde usamos métodos iterativos para encontrar raízes de funções. Para isso, vamos precisar da fórmula do método de Newton-Raphson e entender como aplicá-la passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir a função que queremos resolver. Queremos encontrar raiz[4]10, que é a mesma coisa que resolver x^4 = 10. Então, colocamos isso na forma de uma função:
f(x) = x^4 - 10
Queremos encontrar o valor de x que faz f(x) = 0.

Passo 3

Agora, precisamos da derivada dessa função, pois o método de Newton-Raphson usa a derivada para fazer aproximações melhores a cada passo. A derivada de f(x) é:
f'(x) = 4x^3

Passo 4

A fórmula do método de Newton-Raphson é:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Substituindo nossa função e sua derivada, temos:
xn+1 = xn - xn^4 - 104xn^3
Simplificando isso, ficamos com:
xn+1 = 3xn + 10xn^34

Passo 5

Vamos começar a iteração. Escolhemos um valor inicial para x, que pode ser uma estimativa próxima. Vamos começar com x0 = 2.
Calculando x1:
x1 = 3(2) + 102^34 = 6 + 1084 = 6 + 1,254 = 7,254 = 1,8125

Passo 6

Agora, usamos x1 = 1,8125 para encontrar x2:
x2 = 3(1,8125) + 10(1,8125)^34
Primeiro, calculamos (1,8125)^3 approx 5,9414, então:
x2 = 5,4375 + 105,94144 approx 5,4375 + 1,6844 = 7,12154 approx 1,7804

Passo 7

Vamos continuar com x2 = 1,7804 para encontrar x3:
x3 = 3(1,7804) + 10(1,7804)^34
Calculando (1,7804)^3 approx 5,6513, então:
x3 = 5,3412 + 105,65134 approx 5,3412 + 1,77034 = 7,11154 approx 1,7779

Passo 8

Verificamos a diferença entre x3 e x2:
|1,7779 - 1,7804| = 0,0025
Ainda não atingimos a tolerância de 10^-6, então precisamos continuar.

Passo 9

Calculamos x4 usando x3 = 1,7779:
x4 = 3(1,7779) + 10(1,7779)^34
Calculando (1,7779)^3 approx 5,6238, então:
x4 = 5,3337 + 105,62384 approx 5,3337 + 1,77834 = 7,11204 approx 1,7780

Passo 10

Agora, verificamos a diferença entre x4 e x3:
|1,7780 - 1,7779| = 0,0001
Ainda não chegamos na tolerância desejada, então continuamos.

Passo 11

Calculamos x5 usando x4 = 1,7780:
x5 = 3(1,7780) + 10(1,7780)^34
Calculando (1,7780)^3 approx 5,6320, então:
x5 = 5,3340 + 105,63204 approx 5,3340 + 1,77624 = 7,11024 approx 1,7776

Passo 12

Verificamos a diferença entre x5 e x4:
|1,7776 - 1,7780| = 0,0004
Ainda não atingimos a tolerância, então seguimos.

Passo 13

Continuamos esse processo até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja menor que 10^-6. Após algumas iterações adicionais, alcançamos a aproximação desejada:
raiz[4]10 approx 1,77827941

Resposta

raiz[4]10 approx 1,77827941

Exercícios relacionados