Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de Jacobi, com
ou no máximo 8 iterações. Considere
Passo 1
Vamos resolver um sistema de equações lineares usando o método de Jacobi. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. Precisamos determinar o vetor solução para o seguinte sistema:
Começaremos com um chute inicial para as variáveis, que neste caso é
. Vamos iterar até que a diferença entre as aproximações consecutivas seja menor que
ou até no máximo 8 iterações.
Passo 2
Primeiro, precisamos reescrever as equações de forma que cada variável esteja isolada. Isso é essencial para aplicar o método de Jacobi, que atualiza cada variável com base nas outras.
A primeira equação
pode ser reescrita como:
A segunda equação
pode ser reescrita como:
Agora temos:
Passo 3
Começamos com o vetor inicial
. Vamos calcular a primeira iteração (
):
Portanto,
.
Passo 4
Agora, vamos para a segunda iteração (
):
Então,
.
Passo 5
Terceira iteração (
):
Assim,
.
Passo 6
Quarta iteração (
):
Portanto,
.
Passo 7
Quinta iteração (
):
Então,
.
Passo 8
Sexta iteração (
):
Portanto,
.
Passo 9
Sétima iteração (
):
Então,
.
Passo 10
Oitava iteração (
):
Portanto,
.
Resposta
Após 8 iterações, o vetor solução aproximado pelo método de Jacobi é: