Determinar o vetor solução dos sistemas lineares abaixo através do método de Jacobi, com 0 in<10^-2 ou no máximo 8 iterações. Considere x^(0)= [ll0,2 & 0,2]^T
l 2 x-y=0 x+2 y=5

Passo 1

Vamos resolver um sistema de equações lineares usando o método de Jacobi. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas lineares. Precisamos determinar o vetor solução para o seguinte sistema:
l 2x - y = 0 x + 2y = 5
Começaremos com um chute inicial para as variáveis, que neste caso é x^(0) = 0,2 0,2. Vamos iterar até que a diferença entre as aproximações consecutivas seja menor que 10^-2 ou até no máximo 8 iterações.

Passo 2

Primeiro, precisamos reescrever as equações de forma que cada variável esteja isolada. Isso é essencial para aplicar o método de Jacobi, que atualiza cada variável com base nas outras.
A primeira equação 2x - y = 0 pode ser reescrita como:
x = y2
A segunda equação x + 2y = 5 pode ser reescrita como:
y = 5 - x2
Agora temos:
x^(k+1) = y^(k)2 y^(k+1) = 5 - x^(k)2

Passo 3

Começamos com o vetor inicial x^(0) = 0,2 0,2. Vamos calcular a primeira iteração ( k=1):
x^(1) = y^(0)2 = 0,22 = 0,1
y^(1) = 5 - x^(0)2 = 5 - 0,22 = 4,82 = 2,4
Portanto, x^(1) = 0,1 2,4.

Passo 4

Agora, vamos para a segunda iteração ( k=2):
x^(2) = y^(1)2 = 2,42 = 1,2
y^(2) = 5 - x^(1)2 = 5 - 0,12 = 4,92 = 2,45
Então, x^(2) = 1,2 2,45.

Passo 5

Terceira iteração ( k=3):
x^(3) = y^(2)2 = 2,452 = 1,225
y^(3) = 5 - x^(2)2 = 5 - 1,22 = 3,82 = 1,9
Assim, x^(3) = 1,225 1,9.

Passo 6

Quarta iteração ( k=4):
x^(4) = y^(3)2 = 1,92 = 0,95
y^(4) = 5 - x^(3)2 = 5 - 1,2252 = 3,7752 = 1,8875
Portanto, x^(4) = 0,95 1,8875.

Passo 7

Quinta iteração ( k=5):
x^(5) = y^(4)2 = 1,88752 = 0,94375
y^(5) = 5 - x^(4)2 = 5 - 0,952 = 4,052 = 2,025
Então, x^(5) = 0,94375 2,025.

Passo 8

Sexta iteração ( k=6):
x^(6) = y^(5)2 = 2,0252 = 1,0125
y^(6) = 5 - x^(5)2 = 5 - 0,943752 = 4,056252 = 2,028125
Portanto, x^(6) = 1,0125 2,028125.

Passo 9

Sétima iteração ( k=7):
x^(7) = y^(6)2 = 2,0281252 = 1,0140625
y^(7) = 5 - x^(6)2 = 5 - 1,01252 = 3,98752 = 1,99375
Então, x^(7) = 1,0140625 1,99375.

Passo 10

Oitava iteração ( k=8):
x^(8) = y^(7)2 = 1,993752 = 0,996875
y^(8) = 5 - x^(7)2 = 5 - 1,01406252 = 3,98593752 = 1,99296875
Portanto, x^(8) = 0,996875 1,99296875.

Resposta

Após 8 iterações, o vetor solução aproximado pelo método de Jacobi é:
x = 0,996875 1,99296875

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