Dê o valor da integral definida:
I=integral-4^1(x^2+2 x-3) d x
Utilizando 8 pontos de Gauss. (1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral definida usando a regra de Gauss com 8 pontos. Isso envolve cálculo integral e a técnica de quadratura de Gauss, que é uma maneira inteligente de aproximar integrais usando pontos e pesos específicos.

Passo 2

Primeiro, a regra de Gauss geralmente funciona no intervalo padrão . Mas nossa integral está de a . Então, a gente precisa ajustar isso fazendo uma mudança de variável para adequar ao intervalo padrão.

Passo 3

Vamos fazer a substituição , onde e . Isso transforma nosso intervalo para , facilitando o uso da regra de 8 pontos de Gauss.

Passo 4

Agora, precisamos dos pontos cc ti & wi hline pm 0.1834346425 & 0.3626837834 pm 0.5255324099 & 0.3626837834 pm 0.7966664774 & 0.3626837834 pm 0.9602898565 & 0.3626837834 e dos pesos para a regra de 8 pontos de Gauss. Esses valores são tabelados e específicos para cada número de pontos. Vou listar os valores padrão:

Passo 5

Aplicando a fórmula da quadratura de Gauss:
I approx b - a2 sumi=1^8 wi cdot f(b - a2 ti + b + a2)
Substituindo os valores:
I approx 1 - (-4)2 times sumi=1^8 0.3626837834 cdot ((52 ti + -32)^2 + 2(52 ti + -32) - 3)

Resposta

Após calcular todos os termos, o valor aproximado da integral é .

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