Dê o valor da integral definida:
Utilizando 8 pontos de Gauss. (1,0 ponto)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede pra gente calcular a integral definida
usando a regra de Gauss com 8 pontos. Isso envolve cálculo integral e a técnica de quadratura de Gauss, que é uma maneira inteligente de aproximar integrais usando pontos e pesos específicos.
Passo 2
Primeiro, a regra de Gauss geralmente funciona no intervalo padrão
. Mas nossa integral está de
a
. Então, a gente precisa ajustar isso fazendo uma mudança de variável para adequar ao intervalo padrão.
Passo 3
Vamos fazer a substituição
, onde
e
. Isso transforma nosso intervalo
para
, facilitando o uso da regra de 8 pontos de Gauss.
Passo 4
Agora, precisamos dos pontos
e dos pesos
para a regra de 8 pontos de Gauss. Esses valores são tabelados e específicos para cada número de pontos. Vou listar os valores padrão:
Passo 5
Aplicando a fórmula da quadratura de Gauss:
Substituindo os valores:
Resposta
Após calcular todos os termos, o valor aproximado da integral é
.