Ache a solução do Sistema Linear:
c 6 x1+2 x2+2 x3-1 x4=12 -1 x1-5 x2+1 x3+2 x4=-8 3 x1-2 x2+7 x3-1 x4=-3 2 x1-1 x2-1 x3+5 x4=4
Pelo Método de Gauss-Jacobi com E <= 0,05 e x^0^T=llll1,7 & 1,3 & -1,3 & 0,4 ;(1 , 0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para resolver um sistema de equações lineares usando o Método de Gauss-Jacobi. Esse método é uma técnica iterativa para encontrar soluções aproximadas de sistemas de equações. O nosso sistema tem quatro equações com quatro incógnitas ( ). Vamos precisar reorganizar as equações para isolar cada variável e usar uma estimativa inicial para começar as iterações. A gente também vai ver como calcular o erro para parar quando ele for menor ou igual a 0,05.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar cada equação do sistema para isolar uma variável. Isso é essencial para aplicar o Método de Gauss-Jacobi. Vamos fazer isso para cada equação:
  1. Da primeira equação:
6x1 + 2x2 + 2x3 - x4 = 12 Rightarrow x1 = 12 - 2x2 - 2x3 + x46
  1. Da segunda equação:
-1x1 -5x2 + x3 + 2x4 = -8 Rightarrow x2 = -8 + x1 - x3 - 2x4-5
  1. Da terceira equação:
3x1 -2x2 +7x3 - x4 = -3 Rightarrow x3 = -3 - 3x1 + 2x2 + x47
  1. Da quarta equação:
2x1 -x2 -x3 +5x4 = 4 Rightarrow x4 = 4 - 2x1 + x2 + x35
Agora temos cada variável isolada em termos das outras, o que é a base para o método iterativo.

Passo 3

Vamos definir a estimativa inicial para as variáveis, que é o nosso ponto de partida. Segundo o enunciado, temos:
x^0^T = 1,7 1,3 -1,3 0,4
Isso significa que:
x1^(0) = 1,7; x2^(0) = 1,3; x3^(0) = -1,3; x4^(0) = 0,4
Esses valores serão usados para calcular as próximas estimativas das variáveis.

Passo 4

Agora, vamos fazer a primeira iteração usando as fórmulas que rearranjamos. Substituímos os valores iniciais nas expressões de cada variável:
  1. Calculando x1^(1) = 12 - 2(1,3) - 2(-1,3) + 0,46 = 12 - 2,6 + 2,6 + 0,46 = 12,46 approx 2,07 :
x2^(1) = -8 + 1,7 - (-1,3) - 2(0,4)-5 = -8 + 1,7 + 1,3 - 0,8-5 = -6,8-5 = 1,36
  1. Calculando x3^(1) = -3 - 3(1,7) + 2(1,3) + 0,47 = -3 - 5,1 + 2,6 + 0,47 = -5,27 approx -0,74 :
x4^(1) = 4 - 2(1,7) + 1,3 + (-1,3)5 = 4 - 3,4 + 1,3 - 1,35 = 0,65 = 0,12
  1. Calculando x^(1)^T = 2,07 1,36 -0,74 0,12 :
  1. Calculando :
Então, após a primeira iteração, temos:

Passo 5

Vamos calcular o erro de cada variável para verificar se já atingimos a precisão desejada ( |2,07 - 1,7| = 0,37 ). O erro é dado pela diferença absoluta entre a estimativa atual e a anterior:
  1. Erro em |1,36 - 1,3| = 0,06 :
|-0,74 - (-1,3)| = |0,56| = 0,56
  1. Erro em |0,12 - 0,4| = 0,28 :
  1. Erro em :
  1. Erro em :
Como todos os erros são maiores que 0,05, precisamos continuar com mais iterações.

Passo 6

Vamos para a segunda iteração, usando os valores de x1^(2) = 12 - 2(1,36) - 2(-0,74) + 0,126 = 12 - 2,72 + 1,48 + 0,126 = 10,886 approx 1,81 como base:
  1. Calculando x2^(2) = -8 + 2,07 - (-0,74) - 2(0,12)-5 = -8 + 2,07 + 0,74 - 0,24-5 = -5,43-5 = 1,086 :
x3^(2) = -3 - 3(2,07) + 2(1,36) + 0,127 = -3 - 6,21 + 2,72 + 0,127 = -6,377 approx -0,91
  1. Calculando x4^(2) = 4 - 2(2,07) + 1,36 + (-0,74)5 = 4 - 4,14 + 1,36 - 0,745 = 0,485 = 0,096 :
x^(2)^T = 1,81 1,086 -0,91 0,096
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Então, temos:

Passo 7

Vamos calcular os erros dessa segunda iteração:
  1. Erro em |1,81 - 2,07| = 0,26 :
|1,086 - 1,36| = 0,274
  1. Erro em |-0,91 - (-0,74)| = | -0,17 | = 0,17 :
|0,096 - 0,12| = 0,024
  1. Erro em :
  1. Erro em :
Ainda, alguns erros estão acima de 0,05, então vamos continuar.

Passo 8

Terceira iteração, usando x1^(3) = 12 - 2(1,086) - 2(-0,91) + 0,0966 = 12 - 2,172 + 1,82 + 0,0966 = 11,7446 approx 1,96 :
  1. Calculando x2^(3) = -8 + 1,81 - (-0,91) - 2(0,096)-5 = -8 + 1,81 + 0,91 - 0,192-5 = -5,471-5 = 1,094 :
x3^(3) = -3 - 3(1,81) + 2(1,086) + 0,0967 = -3 - 5,43 + 2,172 + 0,0967 = -6,1627 approx -0,88
  1. Calculando x4^(3) = 4 - 2(1,81) + 1,086 + (-0,91)5 = 4 - 3,62 + 1,086 - 0,915 = 0,5565 = 0,1112 :
x^(3)^T = 1,96 1,094 -0,88 0,1112
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Então:

Passo 9

Calcular os erros dessa iteração:
  1. Erro em |1,96 - 1,81| = 0,15 :
|1,094 - 1,086| = 0,008
  1. Erro em |-0,88 - (-0,91)| = |0,03| = 0,03 :
|0,1112 - 0,096| = 0,0152
  1. Erro em :
  1. Erro em :
Agora, todos os erros são menores ou iguais a 0,05, exceto , que ainda tem um erro de 0,15. Precisamos de mais uma iteração.

Passo 10

Quarta iteração, com x1^(4) = 12 - 2(1,094) - 2(-0,88) + 0,11126 = 12 - 2,188 + 1,76 + 0,11126 = 11,68326 approx 1,9472 :
  1. Calculando x2^(4) = -8 + 1,96 - (-0,88) - 2(0,1112)-5 = -8 + 1,96 + 0,88 - 0,2224-5 = -5,3824-5 = 1,0765 :
x3^(4) = -3 - 3(1,96) + 2(1,094) + 0,11127 = -3 - 5,88 + 2,188 + 0,11127 = -6,58087 approx -0,94
  1. Calculando x4^(4) = 4 - 2(1,96) + 1,094 + (-0,88)5 = 4 - 3,92 + 1,094 - 0,885 = 0,2945 = 0,0588 :
x^(4)^T = 1,9472 1,0765 -0,94 0,0588
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Então:

Passo 11

Calculando os erros dessa iteração:
  1. Erro em |1,9472 - 1,96| = 0,0128 :
|1,0765 - 1,094| = 0,0175
  1. Erro em |-0,94 - (-0,88)| = | -0,06 | = 0,06 :
|0,0588 - 0,1112| = 0,0524
  1. Erro em :
  1. Erro em :
Agora, todos os erros estão muito próximos ou abaixo de 0,05, mas ainda temos pequenos excedentes. Vamos fazer mais uma iteração para garantir que todos fiquem dentro do limite.

Passo 12

Quinta iteração, com x1^(5) = 12 - 2(1,0765) - 2(-0,94) + 0,05886 = 12 - 2,153 + 1,88 + 0,05886 = 11,78586 approx 1,9643 :
  1. Calculando x2^(5) = -8 + 1,9472 - (-0,94) - 2(0,0588)-5 = -8 + 1,9472 + 0,94 - 0,1176-5 = -5,2304-5 = 1,0461 :
x3^(5) = -3 - 3(1,9472) + 2(1,0765) + 0,05887 = -3 - 5,8416 + 2,153 + 0,05887 = -6,63087 approx -0,9472
  1. Calculando x4^(5) = 4 - 2(1,9472) + 1,0765 + (-0,94)5 = 4 - 3,8944 + 1,0765 - 0,945 = 0,23215 approx 0,0464 :
x^(5)^T = 1,9643 1,0461 -0,9472 0,0464
  1. Calculando :
  1. Calculando :
Então:

Passo 13

Finalizando, vamos calcular os erros dessa última iteração:
  1. Erro em |1,9643 - 1,9472| = 0,0171 :
|1,0461 - 1,0765| = 0,0304
  1. Erro em |-0,9472 - (-0,94)| = | -0,0072 | = 0,0072 :
|0,0464 - 0,0588| = 0,0124
  1. Erro em :
  1. Erro em :
Agora, todos os erros estão abaixo de 0,05! Então, podemos parar as iterações.

Resposta

A solução aproximada do sistema pelo Método de Gauss-Jacobi, com erro ≤ 0,05, é:
x1 approx 1,96; x2 approx 1,046; x3 approx -0,947; x4 approx 0,046

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