Calcular as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson para as raízes dos seguintes sistemas, considerando :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Newton-Raphson. Basicamente, queremos encontrar os valores de e que satisfazem as duas equações simultaneamente. O método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa que nos aproxima dessas raízes passo a passo. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções envolvidas, formando a matriz jacobiana, e resolver um sistema linear em cada iteração para atualizar nossos palpites de e . Nosso ponto de partida é .
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas funções do sistema:
Além disso, precisamos da matriz jacobiana, que consiste nas derivadas parciais dessas funções em relação a e :
Vamos calcular essas derivadas:
Passo 3
Primeira Iteração ( para )
Começamos com e .
Avaliar as funções no ponto atual:
Avaliar a matriz jacobiana no ponto atual:
Formar o vetor :
Resolver o sistema :
Resolvendo:
Resolvendo esse sistema, encontramos e .
Atualizar os valores de e :
Passo 4
Segunda Iteração ( para )
Agora, e .
Avaliar as funções no ponto atual:
Avaliar a matriz jacobiana no ponto atual:
Formar o vetor :
Resolver o sistema :
Resolvendo:
Resolvendo esse sistema, encontramos e .
Atualizar os valores de e :
Passo 5
Terceira Iteração ( para )
Agora, e .
Avaliar as funções no ponto atual:
Avaliar a matriz jacobiana no ponto atual:
Formar o vetor :
Resolver o sistema :
Resolvendo:
Resolvendo esse sistema, encontramos e .
Atualizar os valores de e :
Resposta
Após três iterações do método de Newton-Raphson, as aproximações para as raízes do sistema são e .