Calcular as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson para as raízes dos seguintes sistemas, considerando (x0, y0)=(2,2) :
l7.66 e^x+x-y=0 sen^2 x+2.21 sen x=y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Newton-Raphson. Basicamente, queremos encontrar os valores de e que satisfazem as duas equações simultaneamente. O método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa que nos aproxima dessas raízes passo a passo. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções envolvidas, formando a matriz jacobiana, e resolver um sistema linear em cada iteração para atualizar nossos palpites de e . Nosso ponto de partida é .

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas funções do sistema:
f1(x, y) = 7.66 e^x + x - y
f2(x, y) = sin^2x + 2.21 sin x - y
Além disso, precisamos da matriz jacobiana, que consiste nas derivadas parciais dessas funções em relação a J = partial f1partial x & partial f1partial y partial f2partial x & partial f2partial y e partial f1partial x = 7.66 e^x + 1 :
partial f1partial y = -1
Vamos calcular essas derivadas:
partial f2partial x = 2 sin x cos x + 2.21 cos x
partial f2partial y = -1

Passo 3

Primeira Iteração ( f1(2, 2) = 7.66 e^2 + 2 - 2 approx 7.66 times 7.389 + 0 approx 56.67 para f2(2, 2) = sin^2(2) + 2.21 sin(2) - 2 approx 0.826 + 1.902 - 2 approx 0.728 )
Começamos com J = 7.66 e^2 + 1 & -1 2 sin(2) cos(2) + 2.21 cos(2) & -1 approx 56.67 & -1 2 times 0.909 times (-0.416) + 2.21 times (-0.416) & -1 approx 56.67 & -1 -0.758 & -1 e -F = -56.67 -0.728 .
  1. Avaliar as funções no ponto atual:
56.67 De
x1 = x0 + De
  1. Avaliar a matriz jacobiana no ponto atual:
y1 = y0 + De
  1. Formar o vetor :
  1. Resolver o sistema :
Resolvendo:
Resolvendo esse sistema, encontramos e .
  1. Atualizar os valores de e :

Passo 4

Segunda Iteração ( f1(1, 2) = 7.66 e^1 + 1 - 2 approx 7.66 times 2.718 + (-1) approx 20.78 para f2(1, 2) = sin^2(1) + 2.21 sin(1) - 2 approx 0.708 + 1.770 - 2 approx 0.478 )
Agora, J = 7.66 e^1 + 1 & -1 2 sin(1) cos(1) + 2.21 cos(1) & -1 approx 21.78 & -1 2 times 0.841 times 0.540 + 2.21 times 0.540 & -1 approx 21.78 & -1 1.814 & -1 e -F = -20.78 -0.478 .
  1. Avaliar as funções no ponto atual:
21.78 De
x2 = x1 + De
  1. Avaliar a matriz jacobiana no ponto atual:
y2 = y1 + De
  1. Formar o vetor :
  1. Resolver o sistema :
Resolvendo:
Resolvendo esse sistema, encontramos e .
  1. Atualizar os valores de e :

Passo 5

Terceira Iteração ( f1(0, 2) = 7.66 e^0 + 0 - 2 = 7.66 + 0 - 2 = 5.66 para f2(0, 2) = sin^2(0) + 2.21 sin(0) - 2 = 0 + 0 - 2 = -2 )
Agora, J = 7.66 e^0 + 1 & -1 2 sin(0) cos(0) + 2.21 cos(0) & -1 = 7.66 + 1 & -1 0 + 2.21 times 1 & -1 = 8.66 & -1 2.21 & -1 e -F = -5.66 2 .
  1. Avaliar as funções no ponto atual:
8.66 De
x3 = x2 + De
  1. Avaliar a matriz jacobiana no ponto atual:
y3 = y2 + De
  1. Formar o vetor :
  1. Resolver o sistema :
Resolvendo:
Resolvendo esse sistema, encontramos e .
  1. Atualizar os valores de e :

Resposta

Após três iterações do método de Newton-Raphson, as aproximações para as raízes do sistema são e .

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