Calcular as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson para as raízes dos seguintes sistemas, considerando :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Newton-Raphson. Basicamente, queremos encontrar os valores de e que satisfazem as duas equações simultaneamente. O método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa que nos aproxima dessas raízes passo a passo. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções envolvidas, formando a matriz jacobiana, e resolver um sistema linear em cada iteração para atualizar nossos palpites de e . Nosso ponto de partida é .

Passo 2

Primeiro, vamos definir nossas funções do sistema:
Além disso, precisamos da matriz jacobiana, que consiste nas derivadas parciais dessas funções em relação a e :
Vamos calcular essas derivadas:

Passo 3

Primeira Iteração ( para )
Começamos com e .
  1. Avaliar as funções no ponto atual:
  1. Avaliar a matriz jacobiana no ponto atual:
  1. Formar o vetor :
  1. Resolver o sistema :
Resolvendo:
Resolvendo esse sistema, encontramos e .
  1. Atualizar os valores de e :

Passo 4

Segunda Iteração ( para )
Agora, e .
  1. Avaliar as funções no ponto atual:
  1. Avaliar a matriz jacobiana no ponto atual:
  1. Formar o vetor :
  1. Resolver o sistema :
Resolvendo:
Resolvendo esse sistema, encontramos e .
  1. Atualizar os valores de e :

Passo 5

Terceira Iteração ( para )
Agora, e .
  1. Avaliar as funções no ponto atual:
  1. Avaliar a matriz jacobiana no ponto atual:
  1. Formar o vetor :
  1. Resolver o sistema :
Resolvendo:
Resolvendo esse sistema, encontramos e .
  1. Atualizar os valores de e :

Resposta

Após três iterações do método de Newton-Raphson, as aproximações para as raízes do sistema são e .

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Ache a solução do Sistema Linear:
Pelo Método de Gauss-Jacobi com e ponto)
Dê o valor da integral definida:
Utilizando 8 pontos de Gauss. (1,0 ponto)