Calcular as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson para as raízes dos seguintes sistemas, considerando
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Newton-Raphson. Basicamente, queremos encontrar os valores de
e
que satisfazem as duas equações simultaneamente. O método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa que nos aproxima dessas raízes passo a passo. Para isso, vamos precisar calcular as derivadas das funções envolvidas, formando a matriz jacobiana, e resolver um sistema linear em cada iteração para atualizar nossos palpites de
e
. Nosso ponto de partida é
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir nossas funções do sistema:
Além disso, precisamos da matriz jacobiana, que consiste nas derivadas parciais dessas funções em relação a
e
:
Vamos calcular essas derivadas:
Passo 3
Primeira Iteração (
para
)
Começamos com
e
.
- Avaliar as funções no ponto atual:
- Avaliar a matriz jacobiana no ponto atual:
- Formar o vetor
:
- Resolver o sistema
:
Resolvendo:
Resolvendo esse sistema, encontramos
e
.
- Atualizar os valores de
e :
Passo 4
Segunda Iteração (
para
)
Agora,
e
.
- Avaliar as funções no ponto atual:
- Avaliar a matriz jacobiana no ponto atual:
- Formar o vetor
:
- Resolver o sistema
:
Resolvendo:
Resolvendo esse sistema, encontramos
e
.
- Atualizar os valores de
e :
Passo 5
Terceira Iteração (
para
)
Agora,
e
.
- Avaliar as funções no ponto atual:
- Avaliar a matriz jacobiana no ponto atual:
- Formar o vetor
:
- Resolver o sistema
:
Resolvendo:
Resolvendo esse sistema, encontramos
e
.
- Atualizar os valores de
e :
Resposta
Após três iterações do método de Newton-Raphson, as aproximações para as raízes do sistema são
e
.