Calcular as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson para as raízes dos seguintes sistemas, considerando :
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Newton-Raphson. A ideia é encontrar as raízes do sistema dado, ou seja, os valores de e que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo. Vamos precisar do seguinte:
As funções que compõem o sistema.
O método de Newton-Raphson para sistemas, que envolve o uso da matriz Jacobiana.
Uma estimativa inicial () para começar as iterações, que nesse caso é .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções do sistema e calcular a matriz Jacobiana.
As funções são:
A matriz Jacobiana é composta pelas derivadas parciais dessas funções em relação a e :
Passo 3
Primeira Iteração ():
Começamos com e .
Calcular :
Calcular a Matriz Jacobiana :
Resolver :
Temos o sistema:
Resolvendo esse sistema, encontramos e .
Atualizar os valores de e :
Após os cálculos, obtemos os novos valores:
Passo 4
Segunda Iteração ():
Usamos e .
Calcular :
Calcular a Matriz Jacobiana :
Resolver :
Resolvendo, encontramos e .
Atualizar os valores de e :
Após os cálculos, obtemos:
Passo 5
Terceira Iteração ():
Usamos e .
Calcular :
Calcular a Matriz Jacobiana :
Resolver :
Resolvendo, encontramos e .
Atualizar os valores de e :
Após os cálculos, obtemos:
Resposta
Após três iterações do método de Newton-Raphson, as aproximações das raízes do sistema são: