Calcular as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson para as raízes dos seguintes sistemas, considerando (x0, y0)=(2,2) :
lx^2+y^2=1 e^x-y=1.5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Newton-Raphson. A ideia é encontrar as raízes do sistema dado, ou seja, os valores de e que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo. Vamos precisar do seguinte:
  • As funções que compõem o sistema.
  • O método de Newton-Raphson para sistemas, que envolve o uso da matriz Jacobiana.
  • Uma estimativa inicial ( ) para começar as iterações, que nesse caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções do sistema e calcular a matriz Jacobiana.
As funções são:
f1(x, y) = x^2 + y^2 - 1
f2(x, y) = e^x - y - 1.5
A matriz Jacobiana J = partial f1partial x & partial f1partial y partial f2partial x & partial f2partial y = 2x & 2y e^x & -1 é composta pelas derivadas parciais dessas funções em relação a e :

Passo 3

Primeira Iteração ( F = f1(2, 2) f2(2, 2) = 2^2 + 2^2 - 1 e^2 - 2 - 1.5 = 4 + 4 - 1 7.389 - 3.5 = 7 3.889 ):
Começamos com J = 2 times 2 & 2 times 2 e^2 & -1 = 4 & 4 7.389 & -1 e 4De.
  1. Calcular x1 = x0 + De:
y1 = y0 + De
  1. Calcular a Matriz Jacobiana x1 approx 1.461 :
y1 approx 1.638
  1. Resolver :
Temos o sistema:
Resolvendo esse sistema, encontramos e .
  1. Atualizar os valores de e :
Após os cálculos, obtemos os novos valores:

Passo 4

Segunda Iteração ( F = (1.461)^2 + (1.638)^2 - 1 e^1.461 - 1.638 - 1.5 approx 2.135 + 2.685 - 1 4.308 - 3.138 = 3.820 1.170 ):
Usamos J = 2 times 1.461 & 2 times 1.638 e^1.461 & -1 approx 2.922 & 3.276 4.308 & -1 e 2.922De.
  1. Calcular x2 = x1 + De:
y2 = y1 + De
  1. Calcular a Matriz Jacobiana x2 approx 1.320 :
y2 approx 1.743
  1. Resolver :
Resolvendo, encontramos e .
  1. Atualizar os valores de e :
Após os cálculos, obtemos:

Passo 5

Terceira Iteração ( F = (1.320)^2 + (1.743)^2 - 1 e^1.320 - 1.743 - 1.5 approx 1.742 + 3.037 - 1 3.747 - 3.243 = 3.779 0.504 ):
Usamos J = 2 times 1.320 & 2 times 1.743 e^1.320 & -1 approx 2.640 & 3.486 3.747 & -1 e 2.640De.
  1. Calcular x3 = x2 + De:
y3 = y2 + De
  1. Calcular a Matriz Jacobiana x3 approx 1.250 :
y3 approx 1.800
  1. Resolver :
Resolvendo, encontramos e .
  1. Atualizar os valores de e :
Após os cálculos, obtemos:

Resposta

Após três iterações do método de Newton-Raphson, as aproximações das raízes do sistema são:
x approx 1.250
y approx 1.800

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