Calcular as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson para as raízes dos seguintes sistemas, considerando :

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Newton-Raphson. A ideia é encontrar as raízes do sistema dado, ou seja, os valores de e que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo. Vamos precisar do seguinte:
  • As funções que compõem o sistema.
  • O método de Newton-Raphson para sistemas, que envolve o uso da matriz Jacobiana.
  • Uma estimativa inicial ( ) para começar as iterações, que nesse caso é .

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções do sistema e calcular a matriz Jacobiana.
As funções são:
A matriz Jacobiana é composta pelas derivadas parciais dessas funções em relação a e :

Passo 3

Primeira Iteração ( ):
Começamos com e .
  1. Calcular :
  1. Calcular a Matriz Jacobiana :
  1. Resolver :
Temos o sistema:
Resolvendo esse sistema, encontramos e .
  1. Atualizar os valores de e :
Após os cálculos, obtemos os novos valores:

Passo 4

Segunda Iteração ( ):
Usamos e .
  1. Calcular :
  1. Calcular a Matriz Jacobiana :
  1. Resolver :
Resolvendo, encontramos e .
  1. Atualizar os valores de e :
Após os cálculos, obtemos:

Passo 5

Terceira Iteração ( ):
Usamos e .
  1. Calcular :
  1. Calcular a Matriz Jacobiana :
  1. Resolver :
Resolvendo, encontramos e .
  1. Atualizar os valores de e :
Após os cálculos, obtemos:

Resposta

Após três iterações do método de Newton-Raphson, as aproximações das raízes do sistema são:

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Ache a solução do Sistema Linear:
Pelo Método de Gauss-Jacobi com e ponto)