Calcular as três primeiras iterações do método de Newton-Raphson para as raízes dos seguintes sistemas, considerando
:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Newton-Raphson. A ideia é encontrar as raízes do sistema dado, ou seja, os valores de
e
que satisfazem ambas as equações ao mesmo tempo. Vamos precisar do seguinte:
- As funções que compõem o sistema.
- O método de Newton-Raphson para sistemas, que envolve o uso da matriz Jacobiana.
- Uma estimativa inicial (
) para começar as iterações, que nesse caso é .
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções do sistema e calcular a matriz Jacobiana.
As funções são:
A matriz Jacobiana
é composta pelas derivadas parciais dessas funções em relação a
e
:
Passo 3
Primeira Iteração (
):
Começamos com
e
.
- Calcular
:
- Calcular a Matriz Jacobiana
:
- Resolver
:
Temos o sistema:
Resolvendo esse sistema, encontramos
e
.
- Atualizar os valores de
e :
Após os cálculos, obtemos os novos valores:
Passo 4
Segunda Iteração (
):
Usamos
e
.
- Calcular
:
- Calcular a Matriz Jacobiana
:
- Resolver
:
Resolvendo, encontramos
e
.
- Atualizar os valores de
e :
Após os cálculos, obtemos:
Passo 5
Terceira Iteração (
):
Usamos
e
.
- Calcular
:
- Calcular a Matriz Jacobiana
:
- Resolver
:
Resolvendo, encontramos
e
.
- Atualizar os valores de
e :
Após os cálculos, obtemos:
Resposta
Após três iterações do método de Newton-Raphson, as aproximações das raízes do sistema são: