Ajustar os pontos da tabela à função
:
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
|
0,1 | 1,5 | 3,3 | 4,5 | 5 |
|
5,9 | 8,8 | 12 | 19,8 | 21,5 |
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa ajustar os pontos da tabela à função exponencial
. Isso significa que queremos encontrar os valores de
e
que melhor fazem essa função passar perto dos pontos que temos na tabela. Para isso, vamos usar alguns conceitos de matemática, como logaritmos e regressão linear.
Passo 2
Primeiro, vamos entender melhor a função que queremos ajustar:
. Essa é uma função exponencial, onde
é o valor inicial quando
e
determina o crescimento ou decrescimento da função conforme
aumenta.
Passo 3
Para facilitar os cálculos, vamos transformar essa função exponencial em uma forma linear. Tiramos o logaritmo natural dos dois lados da equação:
Agora temos uma equação linear da forma
, onde:
Passo 4
Vamos preparar a tabela com os valores de
e
fornecidos, e calcular
para cada ponto:
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
|
0,1 | 1,5 | 3,3 | 4,5 | 5 |
|
5,9 | 8,8 | 12 | 19,8 | 21,5 |
|
|
|
|
|
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Calculando os logaritmos:
Passo 5
Agora, temos os pares
:
i | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
---|---|---|---|---|---|
|
0,1 | 1,5 | 3,3 | 4,5 | 5 |
|
1,774 | 2,175 | 2,485 | 2,988 | 3,070 |
Vamos usar a fórmula da regressão linear para encontrar
e
. As fórmulas para a inclinação
e o intercepto
são:
Onde
é o número de pontos, que aqui é 5.
Passo 6
Vamos calcular os termos necessários:
Passo 7
Agora, aplicamos esses valores nas fórmulas:
Passo 8
Lembrando que
e
, então temos:
Resposta
Os valores ajustados são
e
. Portanto, a função que melhor ajusta os pontos da tabela é: