Ajustar os pontos da tabela à função Z=a cdot e^b X :
i 1 2 3 4 5
xi 0,1 1,5 3,3 4,5 5
zi 5,9 8,8 12 19,8 21,5

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa ajustar os pontos da tabela à função exponencial . Isso significa que queremos encontrar os valores de e que melhor fazem essa função passar perto dos pontos que temos na tabela. Para isso, vamos usar alguns conceitos de matemática, como logaritmos e regressão linear.

Passo 2

Primeiro, vamos entender melhor a função que queremos ajustar: . Essa é uma função exponencial, onde é o valor inicial quando e determina o crescimento ou decrescimento da função conforme aumenta.

Passo 3

Para facilitar os cálculos, vamos transformar essa função exponencial em uma forma linear. Tiramos o logaritmo natural dos dois lados da equação:
ln Z = ln (a cdot e^b X) = ln a + b X
Agora temos uma equação linear da forma , onde:

Passo 4

Vamos preparar a tabela com os valores de ln 5,9 approx 1,774 e ln 8,8 approx 2,175 fornecidos, e calcular ln 12 approx 2,485 para cada ponto:
i 1 2 3 4 5
ln 19,8 approx 2,988 0,1 1,5 3,3 4,5 5
ln 21,5 approx 3,070 5,9 8,8 12 19,8 21,5
Calculando os logaritmos:

Passo 5

Agora, temos os pares m = n sum (Xi Yi) - sum Xi sum Yin sum Xi^2 - (sum Xi)^2 :
i 1 2 3 4 5
C = sum Yi - m sum Xin 0,1 1,5 3,3 4,5 5
1,774 2,175 2,485 2,988 3,070
Vamos usar a fórmula da regressão linear para encontrar e . As fórmulas para a inclinação e o intercepto são:
Onde é o número de pontos, que aqui é 5.

Passo 6

Vamos calcular os termos necessários:
sum Xi = 0,1 + 1,5 + 3,3 + 4,5 + 5 = 14,4
sum Yi = 1,774 + 2,175 + 2,485 + 2,988 + 3,070 approx 12,492
sum Xi Yi = (0,1)(1,774) + (1,5)(2,175) + (3,3)(2,485) + (4,5)(2,988) + (5)(3,070) approx 0,1774 + 3,2625 + 8,2005 + 13,446 + 15,35 approx 40,3364
sum Xi^2 = (0,1)^2 + (1,5)^2 + (3,3)^2 + (4,5)^2 + (5)^2 = 0,01 + 2,25 + 10,89 + 20,25 + 25 = 58,4

Passo 7

Agora, aplicamos esses valores nas fórmulas:
m = 5 times 40,3364 - 14,4 times 12,4925 times 58,4 - (14,4)^2 = 201,682 - 179,8368292 - 207,36 approx 21,845284,64 approx 0,258
C = 12,492 - 0,258 times 14,45 = 12,492 - 3,71525 approx 8,77685 approx 1,755

Passo 8

Lembrando que b approx 0,258 e ln a approx 1,755 Rightarrow a = e^1,755 approx 5,773 , então temos:

Resposta

Os valores ajustados são Z = 5,773 cdot e^0,258 X e . Portanto, a função que melhor ajusta os pontos da tabela é:

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