Encontrar aproximações para a solução do problema de valor inicial (PVI) y^prime=x-y+2 ; y(0)=2.
Na malha de [0,1] com
a) h=0,05

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! O enunciado pede para encontrarmos aproximações para a solução do problema de valor inicial (PVI):
y' = x - y + 2 com y(0) = 2
Vamos usar o método de Euler, que é uma técnica numérica para aproximar soluções de equações diferenciais. Para isso, vamos precisar do tamanho do passo e vamos trabalhar no intervalo .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o método de Euler. Ele funciona assim:
yn+1 = yn + h cdot f(xn, yn)
Onde:
  • é a aproximação de no ponto .
  • é o tamanho do passo.
  • é a função que define a derivada, ou seja, .
Neste caso, nossa função é .

Passo 3

Vamos organizar nossos pontos:
  • Início: , (já que )
  • Passo:
  • Número de passos: Para ir de 0 até 1 com passos de 0,05, precisamos de passos.

Passo 4

Agora, vamos começar a calcular cada passo usando a fórmula de Euler.
Passo 1:
x0 = 0
y0 = 2
f(x0, y0) = 0 - 2 + 2 = 0
y1 = y0 + h cdot f(x0, y0) = 2 + 0,05 cdot 0 = 2
Passo 2:
x1 = x0 + h = 0 + 0,05 = 0,05
y1 = 2
f(x1, y1) = 0,05 - 2 + 2 = 0,05
y2 = y1 + h cdot f(x1, y1) = 2 + 0,05 cdot 0,05 = 2 + 0,0025 = 2,0025
Passo 3:
x2 = 0,05 + 0,05 = 0,10
y2 = 2,0025
f(x2, y2) = 0,10 - 2,0025 + 2 = 0,0975
y3 = 2,0025 + 0,05 cdot 0,0975 = 2,0025 + 0,004875 = 2,007375

Passo 5

Continuando desse jeito, vamos calcular todos os passos até chegar em |c|c|c|c| hline n & xn & yn & f(xn, yn) = xn - yn + 2 hline 0 & 0,00 & 2,0000 & 0,00 1 & 0,05 & 2,0000 & 0,05 2 & 0,10 & 2,0025 & 0,0975 3 & 0,15 & 2,007375 & 0,137625 4 & 0,20 & 2,01425125 & 0,18574875 5 & 0,25 & 2,0235293125 & 0,2264706875 6 & 0,30 & 2,035252796875 & 0,234747203125 7 & 0,35 & 2,046990058203 & 0,303009941797 8 & 0,40 & 2,061140555094 & 0,198859444906 9 & 0,45 & 2,070094527339 & 0,350905472661 10 & 0,50 & 2,087599300972 & 0,067400699028 11 & 0,55 & 2,090973314924 & 0,604026685076 12 & 0,60 & 2,120224648178 & 0,479775351822 13 & 0,65 & 2,142213471379 & 0,457786528621 14 & 0,70 & 2,165602197807 & 0,534397802193 15 & 0,75 & 2,193321087917 & 0,556678912083 16 & 0,80 & 2,220180038523 & 0,559819961477 17 & 0,85 & 2,248179036601 & 0,601820963399 18 & 0,90 & 2,27827058578 & 0,52172941422 19 & 0,95 & 2,30535406599 & 0,54464593401 20 & 1,00 & 2,33258736219 & - hline :

Resposta

Após aplicar o método de Euler com no intervalo , a aproximação final para é 2,3326.

Exercícios relacionados