Ajuste os dados abaixo pelo método dos mínimos quadrados utilizando:
x 1 2 3 4
y 0,5 0,6 0,9 0,8
uma reta

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa ajustar os dados fornecidos usando o método dos mínimos quadrados para encontrar a melhor reta que representa esses pontos. Vamos trabalhar com álgebra básica e um pouquinho de estatística para calcular os coeficientes da reta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como é uma reta: , onde é o coeficiente angular (inclinação) e é o coeficiente linear (intercepto).

Passo 3

O método dos mínimos quadrados busca minimizar a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados ( ) e os valores previstos pela reta ( ). Para isso, precisamos calcular algumas somas:
  • , que é o número de pontos (neste caso, 4)

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas somas com os valores fornecidos:
sum x &= 1 + 2 + 3 + 4 = 10 sum y &= 0,5 + 0,6 + 0,9 + 0,8 = 2,8 sum x^2 &= 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 sum x cdot y &= (1 cdot 0,5) + (2 cdot 0,6) + (3 cdot 0,9) + (4 cdot 0,8) = 0,5 + 1,2 + 2,7 + 3,2 = 7,6 n &= 4

Passo 5

Agora, usamos as fórmulas do método dos mínimos quadrados para calcular a = n sum xy - (sum x)(sum y)n sum x^2 - (sum x)^2 e b = sum y - a sum xn :

Passo 6

Substituindo os valores que calculamos:
a = 4 cdot 7,6 - 10 cdot 2,84 cdot 30 - 10^2 = 30,4 - 28120 - 100 = 2,420 = 0,12
b = 2,8 - 0,12 cdot 104 = 2,8 - 1,24 = 1,64 = 0,4

Resposta

A reta de ajuste pelo método dos mínimos quadrados é .

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