Aproximar a função no intervalo por um polinômio de terceiro grau, usando os valores de com incremento de 0,25 .

Passo 1

Então, a gente precisa aproximar a função no intervalo de 0 a 1 usando um polinômio de terceiro grau. Isso faz parte do conteúdo de aproximação de funções e polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos polinômios interpoladores, que nos ajuda a encontrar um polinômio que passa por certos pontos específicos da função original.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde vamos calcular os valores de . O enunciado diz que o incremento de é 0,25, então nossos pontos são:
Calculando para cada um:

Passo 3

Agora, vamos montar o sistema de equações para encontrar o polinômio de terceiro grau. A forma geral é:
Queremos que passe por todos os pontos que calculamos. Então, substituímos cada par na equação:

Passo 4

Resolvendo o primeiro equação, vemos que quando :
Isso simplifica nosso polinômio para:

Passo 5

Vamos agora montar um sistema com as outras equações substituindo :
Simplificando as potências:

Passo 6

Agora, resolvemos esse sistema de equações para encontrar os valores de , e . Isso pode ser feito usando métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação. Após resolver, vamos obter os coeficientes do nosso polinômio de terceiro grau.

Passo 7

Após resolver o sistema, encontramos os valores aproximados:
Então, nosso polinômio fica:

Resposta

Aproximando a função no intervalo por um polinômio de terceiro grau com incremento de 0,25, o polinômio obtido é:

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Suponhamos que, num laboratório, obtivemos experimentalmente os seguintes valores para sobre os pontos .
0,2
36,547 17,264 8,155 3,852 1,820
Realize um ajuste exponencial dos dados pelo método dos mínimos quadrados. Calcule também o erro absoluto da aproximação.
Um perito da polícia federal relatou os dados tabulados a seguir. Sabe-se que esses dados podem ser modelados pela seguinte equação
onde e são parâmetros. Use regressão para determinar e . Com base na sua análise, faça a previsão de .
1 2 3 4 5
0,5 2 2,9 3,5 4
O seguinte conjunto de dados apresentados ao Sub-Comitê de seguradoras de automóveis mostra características comparativas entre os carros (separados por categoria de peso) e a percentagem de ocorrência de sinistro. Encontre a reta de mínimos quadrados que aproxima esses dados e encontre a porcentagem baseado no manual de um carro que informa que o peso do automóvel é 1000 kg . Considere .
Tipo Peso médio Porcentagem de ocorrência
De passeio luxo padrão 4800 lb 3,1
De passeio intermediário padrão 3700 lb 4,0
De passeio econômico padrão 3400 lb 5,2
De passeio compacto 2800 lb 6,4
Compacto importado 1900 lb 9,6
Ajuste os dados abaixo pelo método dos mínimos quadrados utilizando:
1 2 3 4
0,5 0,6 0,9 0,8
uma reta