Aproximar a função no intervalo por um polinômio de terceiro grau, usando os valores de com incremento de 0,25 .
Passo 1
Então, a gente precisa aproximar a função no intervalo de 0 a 1 usando um polinômio de terceiro grau. Isso faz parte do conteúdo de aproximação de funções e polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos polinômios interpoladores, que nos ajuda a encontrar um polinômio que passa por certos pontos específicos da função original.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os pontos onde vamos calcular os valores de . O enunciado diz que o incremento de é 0,25, então nossos pontos são:
Calculando para cada um:
Passo 3
Agora, vamos montar o sistema de equações para encontrar o polinômio de terceiro grau. A forma geral é:
Queremos que passe por todos os pontos que calculamos. Então, substituímos cada par na equação:
Passo 4
Resolvendo o primeiro equação, vemos que quando :
Isso simplifica nosso polinômio para:
Passo 5
Vamos agora montar um sistema com as outras equações substituindo :
Simplificando as potências:
Passo 6
Agora, resolvemos esse sistema de equações para encontrar os valores de , e . Isso pode ser feito usando métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação. Após resolver, vamos obter os coeficientes do nosso polinômio de terceiro grau.
Passo 7
Após resolver o sistema, encontramos os valores aproximados:
Então, nosso polinômio fica:
Resposta
Aproximando a função no intervalo por um polinômio de terceiro grau com incremento de 0,25, o polinômio obtido é: