Aproximar a função y=raiz[3]x no intervalo [0 ; 1] por um polinômio de terceiro grau, usando os valores de x com incremento de 0,25 .

Passo 1

Então, a gente precisa aproximar a função no intervalo de 0 a 1 usando um polinômio de terceiro grau. Isso faz parte do conteúdo de aproximação de funções e polinômios. Para resolver isso, vamos precisar usar o método dos polinômios interpoladores, que nos ajuda a encontrar um polinômio que passa por certos pontos específicos da função original.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os pontos onde vamos calcular os valores de x = 0, , 0.25, , 0.5, , 0.75, , 1 . O enunciado diz que o incremento de y(0) &= raiz[3]0 = 0 y(0.25) &= raiz[3]0.25 approx 0.62996 y(0.5) &= raiz[3]0.5 approx 0.79370 y(0.75) &= raiz[3]0.75 approx 0.90856 y(1) &= raiz[3]1 = 1 é 0,25, então nossos pontos são:
Calculando para cada um:

Passo 3

Agora, vamos montar o sistema de equações para encontrar o polinômio de terceiro grau. A forma geral é:
P(x) = a0 + a1x + a2x^2 + a3x^3
Queremos que a0 + a1(0) + a2(0)^2 + a3(0)^3 = 0 a0 + a1(0.25) + a2(0.25)^2 + a3(0.25)^3 approx 0.62996 a0 + a1(0.5) + a2(0.5)^2 + a3(0.5)^3 approx 0.79370 a0 + a1(0.75) + a2(0.75)^2 + a3(0.75)^3 approx 0.90856 a0 + a1(1) + a2(1)^2 + a3(1)^3 = 1 passe por todos os pontos que calculamos. Então, substituímos cada par na equação:

Passo 4

Resolvendo o primeiro equação, vemos que quando a0 = 0 :
P(x) = a1x + a2x^2 + a3x^3
Isso simplifica nosso polinômio para:

Passo 5

Vamos agora montar um sistema com as outras equações substituindo a1(0.25) + a2(0.25)^2 + a3(0.25)^3 approx 0.62996 a1(0.5) + a2(0.5)^2 + a3(0.5)^3 approx 0.79370 a1(0.75) + a2(0.75)^2 + a3(0.75)^3 approx 0.90856 a1(1) + a2(1)^2 + a3(1)^3 = 1 :
0.25a1 + 0.0625a2 + 0.015625a3 approx 0.62996 0.5a1 + 0.25a2 + 0.125a3 approx 0.79370 0.75a1 + 0.5625a2 + 0.421875a3 approx 0.90856 a1 + a2 + a3 = 1
Simplificando as potências:

Passo 6

Agora, resolvemos esse sistema de equações para encontrar os valores de , e . Isso pode ser feito usando métodos de álgebra linear, como substituição ou eliminação. Após resolver, vamos obter os coeficientes do nosso polinômio de terceiro grau.

Passo 7

Após resolver o sistema, encontramos os valores aproximados:
a1 &approx 2.5096 a2 &approx -2.4917 a3 &approx 1
Então, nosso polinômio fica:
P(x) approx 2.5096x - 2.4917x^2 + x^3

Resposta

Aproximando a função P(x) approx 2.5096x - 2.4917x^2 + x^3 no intervalo por um polinômio de terceiro grau com incremento de 0,25, o polinômio obtido é:

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