A lista a seguir contém notas de trabalhos de casa e de exames finais para 15 alunos de Computação Numérica. Encontre a equação da reta de mínimos quadrados para estes dados e utilize esta reta para determinar a nota de trabalhos de casa necessária para que:
Trabalho 302 325 285 339
Final 45 72 54 54
(a) A nota final seja 90.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem as notas de trabalhos de casa (Trabalho) e de exames finais (Final) para 4 alunos de Computação Numérica. O objetivo é encontrar a equação da reta de mínimos quadrados que melhor se ajusta a esses dados. Depois, vamos usar essa reta pra descobrir qual a nota de trabalhos de casa necessária para que a nota final seja 90. Para isso, vamos precisar usar conceitos de estatística, mais especificamente de regressão linear.

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados que temos:
Trabalho (x) Final (y)
302 45
325 72
285 54
339 54
Vamos calcular algumas somas que vamos precisar:
  • Soma de Sigma x = 302 + 325 + 285 + 339 = 1251 (Trabalho): Sigma y = 45 + 72 + 54 + 54 = 225
  • Soma de Sigma xy = (302 times 45) + (325 times 72) + (285 times 54) + (339 times 54) = 13590 + 23400 + 15390 + 18306 = 70786 (Final): Sigma x^2 = 302^2 + 325^2 + 285^2 + 339^2 = 91204 + 105625 + 81225 + 114921 = 392975
  • Soma de :
  • Soma de :
Primeiro, vamos calcular cada uma dessas somas:

Passo 3

Agora, vamos usar as somas que calculamos para encontrar os coeficientes da reta de mínimos quadrados. A equação da reta é dada por:
y = a + b x
Onde:
  • b = n Sigma xy - (Sigma x)(Sigma y)n Sigma x^2 - (Sigma x)^2 é o coeficiente angular.
  • a = Sigma y - b Sigma xn é o coeficiente linear.
Para encontrar e , usamos as fórmulas:
Aqui, é o número de pontos de dados, que nesse caso é 4.

Passo 4

Vamos calcular b = 4 times 70786 - 1251 times 2254 times 392975 - (1251)^2 primeiro:
4 times 70786 = 283144
Calculando os termos:
1251 times 225 = 281475
4 times 392975 = 1,571,900
(1251)^2 = 1,564,002.1
b = 283144 - 2814751,571,900 - 1,564,002.1 = 1,6697,897.9 approx 0.2113
Substituindo na fórmula:
a = 225 - 0.2113 times 12514 = 225 - 264.38634 = -39.38634 approx -9.8466
Agora, vamos calcular :

Passo 5

Agora que temos y = -9.8466 + 0.2113x e , podemos escrever a equação da reta de mínimos quadrados:

Passo 6

Com a equação da reta, vamos determinar qual a nota de trabalhos de casa ( 90 = -9.8466 + 0.2113x ) necessária para que a nota final ( 90 + 9.8466 = 0.2113x ) seja 90. Substituindo 99.8466 = 0.2113x na equação:
x = 99.84660.2113 approx 473
Vamos resolver para :

Resposta

A nota de trabalhos de casa necessária para que a nota final seja 90 é aproximadamente 473.

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