O seguinte conjunto de dados apresentados ao Sub-Comitê de seguradoras de automóveis mostra características comparativas entre os carros (separados por categoria de peso) e a percentagem de ocorrência de sinistro. Encontre a reta de mínimos quadrados que aproxima esses dados e encontre a porcentagem baseado no manual de um carro que informa que o peso do automóvel é 1000 kg . Considere
.
Tipo | Peso médio | Porcentagem de ocorrência |
---|---|---|
De passeio luxo padrão | 4800 lb | 3,1 |
De passeio intermediário padrão | 3700 lb | 4,0 |
De passeio econômico padrão | 3400 lb | 5,2 |
De passeio compacto | 2800 lb | 6,4 |
Compacto importado | 1900 lb | 9,6 |
Passo 1
Então, a gente tem aqui uma tabela que mostra diferentes tipos de carros, o peso médio deles em libras (lb) e a porcentagem de ocorrência de sinistros (acidentes). A missão é encontrar uma reta que melhor se encaixe nesses dados usando o método dos mínimos quadrados e, depois, prever qual seria essa porcentagem de sinistros para um carro que pesa 1000 kg. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre regressão linear e como aplicar o método dos mínimos quadrados para encontrar a melhor reta que representa esses dados.
Passo 2
Primeiro, vamos converter o peso dos carros de libras para quilogramas, já que a gente vai precisar prever para 1000 kg e 1 libra (lb) equivale a 0,45 kg.
Vamos fazer essa conversão:
Então:
- 4800 lb × 0,45 = 2160 kg
- 3700 lb × 0,45 = 1665 kg
- 3400 lb × 0,45 = 1530 kg
- 2800 lb × 0,45 = 1260 kg
- 1900 lb × 0,45 = 855 kg
Agora, nossa tabela fica assim:
Tipo | Peso médio (kg) | Porcentagem de ocorrência |
---|---|---|
De passeio luxo padrão | 2160 | 3,1 |
De passeio intermediário padrão | 1665 | 4,0 |
De passeio econômico padrão | 1530 | 5,2 |
De passeio compacto | 1260 | 6,4 |
Compacto importado | 855 | 9,6 |
Passo 3
Agora, vamos encontrar a reta de regressão linear usando o método dos mínimos quadrados. Mas, calma aí, o que é isso?
Regressão Linear: É uma técnica estatística que busca estabelecer uma relação linear entre duas variáveis. No nosso caso, queremos ver como o peso do carro (em kg) está relacionado com a porcentagem de sinistros.
Método dos Mínimos Quadrados: É uma maneira de encontrar a melhor reta que minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta.
A equação da reta fica assim:
Onde:
-
é a porcentagem de ocorrência de sinistros. -
é o peso do carro. -
é o coeficiente angular. -
é o coeficiente linear.
Para encontrar
e
, usamos as seguintes fórmulas:
Onde
é o número de observações.
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, listamos nossos valores:
Agora, calculamos as somas necessárias:
Agora, aplicamos as fórmulas:
Então, a equação da reta é:
Resposta
A reta de mínimos quadrados que aproxima os dados é:
Assim, para um carro que pesa 1000 kg, a porcentagem de ocorrência de sinistros estimada é:
Portanto, a porcentagem estimada de sinistros para um carro com 1000 kg é 8,14%.
Exercícios relacionados
Aproximar a função
no intervalo
por um polinômio de terceiro grau, usando os valores de
com incremento de 0,25 .
Suponhamos que, num laboratório, obtivemos experimentalmente os seguintes valores para
sobre os pontos
.
|
|
|
|
|
0,2 |
---|---|---|---|---|---|
|
36,547 | 17,264 | 8,155 | 3,852 | 1,820 |
Realize um ajuste exponencial dos dados pelo método dos mínimos quadrados. Calcule também o erro absoluto da aproximação.
Ajuste os dados abaixo pelo método dos mínimos quadrados utilizando:
|
1 | 2 | 3 | 4 |
---|---|---|---|---|
|
0,5 | 0,6 | 0,9 | 0,8 |
uma reta
A lista a seguir contém notas de trabalhos de casa e de exames finais para 15 alunos de Computação Numérica. Encontre a equação da reta de mínimos quadrados para estes dados e utilize esta reta para determinar a nota de trabalhos de casa necessária para que:
Trabalho | 302 | 325 | 285 | 339 |
---|---|---|---|---|
Final | 45 | 72 | 54 | 54 |
(a) A nota final seja 90.