O seguinte conjunto de dados apresentados ao Sub-Comitê de seguradoras de automóveis mostra características comparativas entre os carros (separados por categoria de peso) e a percentagem de ocorrência de sinistro. Encontre a reta de mínimos quadrados que aproxima esses dados e encontre a porcentagem baseado no manual de um carro que informa que o peso do automóvel é 1000 kg . Considere .
Tipo Peso médio Porcentagem de ocorrência
De passeio luxo padrão 4800 lb 3,1
De passeio intermediário padrão 3700 lb 4,0
De passeio econômico padrão 3400 lb 5,2
De passeio compacto 2800 lb 6,4
Compacto importado 1900 lb 9,6

Passo 1

Então, a gente tem aqui uma tabela que mostra diferentes tipos de carros, o peso médio deles em libras (lb) e a porcentagem de ocorrência de sinistros (acidentes). A missão é encontrar uma reta que melhor se encaixe nesses dados usando o método dos mínimos quadrados e, depois, prever qual seria essa porcentagem de sinistros para um carro que pesa 1000 kg. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre regressão linear e como aplicar o método dos mínimos quadrados para encontrar a melhor reta que representa esses dados.

Passo 2

Primeiro, vamos converter o peso dos carros de libras para quilogramas, já que a gente vai precisar prever para 1000 kg e 1 libra (lb) equivale a 0,45 kg.
Vamos fazer essa conversão:
Então:
  • 4800 lb × 0,45 = 2160 kg
  • 3700 lb × 0,45 = 1665 kg
  • 3400 lb × 0,45 = 1530 kg
  • 2800 lb × 0,45 = 1260 kg
  • 1900 lb × 0,45 = 855 kg
Agora, nossa tabela fica assim:
Tipo Peso médio (kg) Porcentagem de ocorrência
De passeio luxo padrão 2160 3,1
De passeio intermediário padrão 1665 4,0
De passeio econômico padrão 1530 5,2
De passeio compacto 1260 6,4
Compacto importado 855 9,6

Passo 3

Agora, vamos encontrar a reta de regressão linear usando o método dos mínimos quadrados. Mas, calma aí, o que é isso?
Regressão Linear: É uma técnica estatística que busca estabelecer uma relação linear entre duas variáveis. No nosso caso, queremos ver como o peso do carro (em kg) está relacionado com a porcentagem de sinistros.
Método dos Mínimos Quadrados: É uma maneira de encontrar a melhor reta que minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela reta.
A equação da reta fica assim:
Onde:
  • é a porcentagem de ocorrência de sinistros.
  • é o peso do carro.
  • é o coeficiente angular.
  • é o coeficiente linear.
Para encontrar e , usamos as seguintes fórmulas:
Onde é o número de observações.
Vamos calcular passo a passo:
Primeiro, listamos nossos valores:
Agora, calculamos as somas necessárias:
Agora, aplicamos as fórmulas:
Então, a equação da reta é:

Resposta

A reta de mínimos quadrados que aproxima os dados é:
Assim, para um carro que pesa 1000 kg, a porcentagem de ocorrência de sinistros estimada é:
Portanto, a porcentagem estimada de sinistros para um carro com 1000 kg é 8,14%.

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0,2
36,547 17,264 8,155 3,852 1,820
Realize um ajuste exponencial dos dados pelo método dos mínimos quadrados. Calcule também o erro absoluto da aproximação.
Ajuste os dados abaixo pelo método dos mínimos quadrados utilizando:
1 2 3 4
0,5 0,6 0,9 0,8
uma reta
A lista a seguir contém notas de trabalhos de casa e de exames finais para 15 alunos de Computação Numérica. Encontre a equação da reta de mínimos quadrados para estes dados e utilize esta reta para determinar a nota de trabalhos de casa necessária para que:
Trabalho 302 325 285 339
Final 45 72 54 54
(a) A nota final seja 90.