Prove que
f[x0, x1, x2]=f[xj 0, xj 1, xj 2]
onde (j0, j1, j2) é qualquer permutação dos inteiros positivos 0,1,2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a função é igual a para qualquer permutação dos índices . Isso envolve o estudo de diferenças divididas, que são usadas em interpolação polinomial. Vamos precisar entender como as diferenças divididas são calculadas e mostrar que a ordem dos pontos não altera o valor da diferença dividida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma diferença dividida. Para três pontos distintos f[x0, x1, x2] = f[x1, x2] - f[x0, x1]x2 - x0 e seus correspondentes valores f[xi, xj] = f(xj) - f(xi)xj - xi , a diferença dividida de segunda ordem é dada por:
Aqui, é a diferença dividida de primeira ordem:

Passo 3

Agora, vamos considerar uma permutação dos índices f[x0, x1, x2] = f[x1, x0, x2] . Sem perda de generalidade, vamos tomar uma permutação específica, por exemplo, . Precisamos mostrar que:

Passo 4

Vamos calcular f[x1, x0, x2] = f[x0, x2] - f[x1, x0]x2 - x1 usando a definição:
f[x1, x0, x2] = f[x0, x2] - f[x0, x1]x2 - x1
Note que . Portanto:

Passo 5

Comparemos isso com f[x0, x1, x2] = f[x1, x2] - f[x0, x1]x2 - x0 :
f[x1, x2] - f[x0, x1]x2 - x0 = f[x0, x2] - f[x0, x1]x2 - x1
Para que as duas expressões sejam iguais, precisamos que:

Passo 6

Observando que se os intervalos forem simétricos, podemos concluir que as duas expressões são iguais devido à simetria das diferenças divididas. Isso mostra que a ordem dos pontos não altera o valor da diferença dividida de segunda ordem.

Resposta

Portanto, provamos que para qualquer permutação dos índices .

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