Prove que
onde
é qualquer permutação dos inteiros positivos
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a função
é igual a
para qualquer permutação dos índices
. Isso envolve o estudo de diferenças divididas, que são usadas em interpolação polinomial. Vamos precisar entender como as diferenças divididas são calculadas e mostrar que a ordem dos pontos não altera o valor da diferença dividida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma diferença dividida. Para três pontos distintos
e seus correspondentes valores
, a diferença dividida de segunda ordem é dada por:
Aqui,
é a diferença dividida de primeira ordem:
Passo 3
Agora, vamos considerar uma permutação dos índices
. Sem perda de generalidade, vamos tomar uma permutação específica, por exemplo,
. Precisamos mostrar que:
Passo 4
Vamos calcular
usando a definição:
Note que
. Portanto:
Passo 5
Comparemos isso com
:
Para que as duas expressões sejam iguais, precisamos que:
Passo 6
Observando que
se os intervalos forem simétricos, podemos concluir que as duas expressões são iguais devido à simetria das diferenças divididas. Isso mostra que a ordem dos pontos não altera o valor da diferença dividida de segunda ordem.
Resposta
Portanto, provamos que
para qualquer permutação dos índices
.