Prove que
onde é qualquer permutação dos inteiros positivos .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para provar que a função é igual a para qualquer permutação dos índices . Isso envolve o estudo de diferenças divididas, que são usadas em interpolação polinomial. Vamos precisar entender como as diferenças divididas são calculadas e mostrar que a ordem dos pontos não altera o valor da diferença dividida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma diferença dividida. Para três pontos distintos e seus correspondentes valores , a diferença dividida de segunda ordem é dada por:
Aqui, é a diferença dividida de primeira ordem:

Passo 3

Agora, vamos considerar uma permutação dos índices . Sem perda de generalidade, vamos tomar uma permutação específica, por exemplo, . Precisamos mostrar que:

Passo 4

Vamos calcular usando a definição:
Note que . Portanto:

Passo 5

Comparemos isso com :
Para que as duas expressões sejam iguais, precisamos que:

Passo 6

Observando que se os intervalos forem simétricos, podemos concluir que as duas expressões são iguais devido à simetria das diferenças divididas. Isso mostra que a ordem dos pontos não altera o valor da diferença dividida de segunda ordem.

Resposta

Portanto, provamos que para qualquer permutação dos índices .

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(Ajuste Exponencial) Suponha que dados experimentais sejam aproximados pela função com a e b positivos. O método dos mínimos quadrados desenvolvido anteriormente pode ser usado fazendo a seguinte transformação:
Definindo-se:
temos que
Assim,
Desta forma, temos a seguinte tabela:
Após bela explanação, considere uma função tabelada nos pontos, como segue:
-1 0 1 2
6,01 5,39 4,80 2,01 0,65 0,21
Ajuste os pontos da tabela para a função exponencial .
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Considere os PVI
Calcule para cada um dos problemas usando o método de Euler, o método de Euler modificado e o método RK de ordem usando o passo .