e obtenha uma aproximação para . Trabalhe com 4 casas decimais em todo processo de resolução.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores de para certos valores de , e precisa ajustar essa função usando uma fórmula específica que envolve funções logarítmicas, seno hiperbólico () e cosseno hiperbólico (). Depois, vamos usar essa função ajustada para encontrar uma aproximação da derivada . Para isso, vamos precisar entender de ajuste de curvas e cálculo diferencial.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função que queremos ajustar:
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que melhor se ajustam aos dados da tabela. Para isso, podemos usar o método dos mínimos quadrados, que minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela função.
Passo 3
Vamos organizar os dados:
Para cada valor de , podemos calcular e , já que esses são componentes da nossa função.
Passo 4
Vamos calcular e para cada valor de :
Vamos fazer isso para cada :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 5
Agora, para cada , vamos montar a equação da função ajustada e igualar a :
Para facilitar, vamos reescrever a equação exponenciando ambos os lados:
Multiplicando ambos os lados por :
Vamos chamar o lado direito de :
Onde:
Passo 6
Vamos calcular para cada valor de :
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Passo 7
Agora temos um sistema de equações lineares com as incógnitas e :
Note que a terceira equação já nos dá que .
Passo 8
Com -1.1752, a + 1.5431 cdot 2.0000 = 1.3238 , podemos substituir nas outras equações para encontrar -1.1752, a + 3.0862 = 1.3238 -1.1752, a = 1.3238 - 3.0862 -1.1752, a = -1.7624 a = -1.7624-1.1752 approx 1.5000 . Vamos usar a segunda equação: