Ajuste a função tabelada abaixo
x -2 -1 0 1 2
f(x) -0.8751 -0.4130 0.6931 0.8856 0.9528
por uma funçåo da forma
f(x)=ln (a senh(x)+b cosh (x)1+x^2)
e obtenha uma aproximação para f^prime(0.5). Trabalhe com 4 casas decimais em todo processo de resolução.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma tabela com valores de para certos valores de , e precisa ajustar essa função usando uma fórmula específica que envolve funções logarítmicas, seno hiperbólico ( ) e cosseno hiperbólico ( ). Depois, vamos usar essa função ajustada para encontrar uma aproximação da derivada . Para isso, vamos precisar entender de ajuste de curvas e cálculo diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função que queremos ajustar:
f(x) = ln(a, senh(x) + b, cosh(x)1 + x^2)
Nosso objetivo é encontrar os valores de e que melhor se ajustam aos dados da tabela. Para isso, podemos usar o método dos mínimos quadrados, que minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela função.

Passo 3

Vamos organizar os dados:
|c|c| hline x & f(x) hline -2 & -0.8751 -1 & -0.4130 0 & 0.6931 1 & 0.8856 2 & 0.9528 hline
Para cada valor de , podemos calcular e , já que esses são componentes da nossa função.

Passo 4

Vamos calcular senh(x) = e^x - e^-x2, cosh(x) = e^x + e^-x2 e senh(-2) = -senh(2) approx -3.6269, cosh(-2) = cosh(2) approx 3.7622 para cada valor de senh(-1) = -senh(1) approx -1.1752, cosh(-1) = cosh(1) approx 1.5431 :
senh(0) = 0, cosh(0) = 1
Vamos fazer isso para cada senh(1) approx 1.1752, cosh(1) approx 1.5431 :
  • Para senh(2) approx 3.6269, cosh(2) approx 3.7622 :
  • Para :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 5

Agora, para cada f(x) = ln(a, senh(x) + b, cosh(x)1 + x^2) , vamos montar a equação da função ajustada e igualar a e^f(x) = a, senh(x) + b, cosh(x)1 + x^2 :
a, senh(x) + b, cosh(x) = (1 + x^2), e^f(x)
Para facilitar, vamos reescrever a equação exponenciando ambos os lados:
a, senh(x) + b, cosh(x) = y(x)
Multiplicando ambos os lados por y(x) = (1 + x^2), e^f(x) :
Vamos chamar o lado direito de :
Onde:

Passo 6

Vamos calcular y(-2) = (1 + (-2)^2) cdot e^-0.8751 = 5 cdot e^-0.8751 approx 5 cdot 0.4164 = 2.0820 para cada valor de y(-1) = (1 + (-1)^2) cdot e^-0.4130 = 2 cdot e^-0.4130 approx 2 cdot 0.6619 = 1.3238 :
  • Para y(0) = (1 + 0^2) cdot e^0.6931 = 1 cdot e^0.6931 approx 1 cdot 2.0000 = 2.0000 : y(1) = (1 + 1^2) cdot e^0.8856 = 2 cdot e^0.8856 approx 2 cdot 2.4231 = 4.8462
  • Para y(2) = (1 + 2^2) cdot e^0.9528 = 5 cdot e^0.9528 approx 5 cdot 2.5937 = 12.9685 :
  • Para :
  • Para :
  • Para :

Passo 7

Agora temos um sistema de equações lineares com as incógnitas -3.6269, a + 3.7622, b = 2.0820 -1.1752, a + 1.5431, b = 1.3238 0, a + 1, b = 2.0000 1.1752, a + 1.5431, b = 4.8462 3.6269, a + 3.7622, b = 12.9685 e :
Note que a terceira equação já nos dá que .

Passo 8

Com -1.1752, a + 1.5431 cdot 2.0000 = 1.3238 , podemos substituir nas outras equações para encontrar -1.1752, a + 3.0862 = 1.3238 -1.1752, a = 1.3238 - 3.0862 -1.1752, a = -1.7624 a = -1.7624-1.1752 approx 1.5000 . Vamos usar a segunda equação:
Simplificando:

Passo 9

Agora temos f(x) = ln(1.5000, senh(x) + 2.0000, cosh(x)1 + x^2) e . Nossa função ajustada fica:

Passo 10

Para encontrar f'(x) = ddx [ ln(1.5, senh(x) + 2, cosh(x)1 + x^2) ] , precisamos derivar a função f'(x) = ddx (1.5, senh(x) + 2, cosh(x)) cdot (1 + x^2) - (1.5, senh(x) + 2, cosh(x)) cdot 2x (1.5, senh(x) + 2, cosh(x)) cdot (1 + x^2) . Vamos usar a regra da cadeia e a regra do quociente:
ddx senh(x) = cosh(x), ddx cosh(x) = senh(x)
Usando a regra da derivada do logaritmo:
f'(x) = 1.5, cosh(x) + 2, senh(x)1.5, senh(x) + 2, cosh(x) - (1.5, senh(x) + 2, cosh(x)) cdot 2x (1.5, senh(x) + 2, cosh(x)) cdot (1 + x^2)
Calculando as derivadas:
f'(x) = 1.5, cosh(x) + 2, senh(x)1.5, senh(x) + 2, cosh(x) - 2x1 + x^2
Substituindo:
Simplificando:

Passo 11

Agora, vamos calcular senh(0.5) = e^0.5 - e^-0.52 approx 1.6487 - 0.60652 = 0.5211 :
Primeiro, calculamos cosh(0.5) = e^0.5 + e^-0.52 approx 1.6487 + 0.60652 = 1.1276 e f'(0.5) = 1.5 cdot 1.1276 + 2 cdot 0.52111.5 cdot 0.5211 + 2 cdot 1.1276 - 2 cdot 0.51 + 0.5^2 :
Numerador do primeiro termo = 1.5 cdot 1.1276 + 2 cdot 0.5211 = 1.6914 + 1.0422 = 2.7336
Denominador do primeiro termo = 1.5 cdot 0.5211 + 2 cdot 1.1276 = 0.7817 + 2.2552 = 3.0369
Agora, substituímos na expressão de Primeiro termo = 2.73363.0369 approx 0.9003 :
Segundo termo = 1.01.25 = 0.8
Calculando cada parte:
f'(0.5) = 0.9003 - 0.8 = 0.1003
Finalmente:

Resposta

A aproximação para é 0.1003.

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