Resolver pelo método de eliminação de Gauss e pelo método de eliminação de Gauss com estratégia de pivoteamento parcial o sistema linear abaixo. Usar representação em ponto flutuante com 3 algarismos significativos.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando dois métodos diferentes: o método de eliminação de Gauss e o método de eliminação de Gauss com pivoteamento parcial. O sistema que temos é:
Vamos precisar entender como funciona a eliminação de Gauss, que é uma técnica para resolver sistemas lineares, e o que é o pivoteamento parcial, que ajuda a melhorar a precisão dos cálculos quando usamos representação em ponto flutuante com 3 algarismos significativos.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o método de eliminação de Gauss simples. A ideia é transformar o sistema em uma forma triangular, onde podemos resolver uma equação de cada vez.
Vamos começar multiplicando a primeira equação por um fator que vai eliminar o x da segunda equação. Para isso, calculamos o fator:
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 3
Agora, multiplicamos a primeira equação pelo fator e somamos à segunda equação para eliminar o x:
Primeira equação multiplicada por :
Calculando:
Somando à segunda equação:
Simplificando:
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 4
Agora temos um sistema triangular:
Vamos resolver a segunda equação para :
Mas para simplificar, vamos resolver diretamente:
Isolando :
No entanto, como temos duas variáveis, vamos voltar ao método de eliminação correta.
Na verdade, houve um erro no passo anterior. Vamos refazer a eliminação de forma correta.
Passo 5
Vamos multiplicar a primeira equação por e somar à segunda equação para eliminar .
Primeira equação multiplicada por :
Calculando:
Somando à segunda equação:
Simplificando:
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 6
Agora, vamos resolver a segunda equação para :
Isolando :
Para simplificar, assumindo que é pequeno, podemos aproximar :
Arredondando para três algarismos significativos:
Passo 7
Agora, substituímos o valor de na primeira equação para encontrar :
Calculando:
Isolando :
Arredondando para três algarismos significativos:
Resposta
Usando o método de eliminação de Gauss, as soluções aproximadas para o sistema são: