Resolva pelo método de fatoração de Cholesky o sistema linear abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de fatoração de Cholesky. Primeiro, vamos entender o que temos: um sistema linear com três equações e três incógnitas (x, y, z). O método de Cholesky é uma técnica para resolver sistemas lineares que exige que a matriz dos coeficientes seja simétrica e positiva definida. Vamos precisar organizar a matriz do sistema e verificar essas condições antes de aplicar a fatoração.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema:
Vamos verificar se essa matriz é simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. Olhando para A, vemos que:
Então, a matriz A é simétrica.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a matriz é positiva definida. Uma maneira de fazer isso é checar se todos os menores principais têm determinante positivo:
O primeiro menor principal é .
O segundo menor principal é:
O determinante da matriz completa A:
Calculando o determinante de A:
Como todos os menores principais têm determinantes positivos, a matriz A é positiva definida.
Passo 4
Agora que confirmamos que podemos usar o método de Cholesky, vamos fatorar a matriz A em , onde L é uma matriz triangular inferior.
Vamos encontrar os elementos de L:
Usando a fatoração de Cholesky:
Então, a matriz L fica:
Passo 5
Agora que temos , podemos reescrever o sistema como .