Resolva pelo método de fatoração de Cholesky o sistema linear abaixo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de fatoração de Cholesky. Primeiro, vamos entender o que temos: um sistema linear com três equações e três incógnitas (x, y, z). O método de Cholesky é uma técnica para resolver sistemas lineares que exige que a matriz dos coeficientes seja simétrica e positiva definida. Vamos precisar organizar a matriz do sistema e verificar essas condições antes de aplicar a fatoração.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 4 & 2 & -4 2 & 10 & 4 -4 & 4 & 9
Vamos verificar se essa matriz é simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. Olhando para A, vemos que:
Então, a matriz A é simétrica.
Passo 3
Agora, precisamos verificar se a matriz é positiva definida. Uma maneira de fazer isso é checar se todos os menores principais têm determinante positivo:
O primeiro menor principal é 4 & 2 2 & 10 = (4)(10) - (2)(2) = 40 - 4 = 36 > 0 .
Como todos os menores principais têm determinantes positivos, a matriz A é positiva definida.
Passo 4
Agora que confirmamos que podemos usar o método de Cholesky, vamos fatorar a matriz A em L = l11 & 0 & 0 l21 & l22 & 0 l31 & l32 & l33 , onde L é uma matriz triangular inferior.
Vamos encontrar os elementos de L:
L = 2 & 0 & 0 1 & 3 & 0 -2 & 2 & 1
Usando a fatoração de Cholesky:
Então, a matriz L fica:
Passo 5
Agora que temos b = -1 1 0 , podemos reescrever o sistema 2 & 0 & 0 1 & 3 & 0 -2 & 2 & 1 y1 y2 y3 = -1 1 0 como -12 12 -2 .