Resolva pelo método de fatoração de Cholesky o sistema linear abaixo.
l 4 x+2 y-4 z=-1 2 x+10 y+4 z=1 -4 x+4 y+9 z=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de fatoração de Cholesky. Primeiro, vamos entender o que temos: um sistema linear com três equações e três incógnitas (x, y, z). O método de Cholesky é uma técnica para resolver sistemas lineares que exige que a matriz dos coeficientes seja simétrica e positiva definida. Vamos precisar organizar a matriz do sistema e verificar essas condições antes de aplicar a fatoração.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema:
A = 4 & 2 & -4 2 & 10 & 4 -4 & 4 & 9
Vamos verificar se essa matriz é simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. Olhando para A, vemos que:
Então, a matriz A é simétrica.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a matriz é positiva definida. Uma maneira de fazer isso é checar se todos os menores principais têm determinante positivo:
  1. O primeiro menor principal é 4 & 2 2 & 10 = (4)(10) - (2)(2) = 40 - 4 = 36 > 0 .
  2. O segundo menor principal é:
4 & 2 & -4 2 & 10 & 4 -4 & 4 & 9 = 4(10 cdot 9 - 4 cdot 4) - 2(2 cdot 9 - 4 cdot (-4)) -4(2 cdot 4 - 10 cdot (-4))
  1. O determinante da matriz completa A:
Calculando o determinante de A:
= 4(90 - 16) - 2(18 + 16) -4(8 + 40)
= 4(74) - 2(34) -4(48)
= 296 - 68 - 192 = 36 > 0
Como todos os menores principais têm determinantes positivos, a matriz A é positiva definida.

Passo 4

Agora que confirmamos que podemos usar o método de Cholesky, vamos fatorar a matriz A em L = l11 & 0 & 0 l21 & l22 & 0 l31 & l32 & l33 , onde L é uma matriz triangular inferior.
Vamos encontrar os elementos de L:
L = 2 & 0 & 0 1 & 3 & 0 -2 & 2 & 1
Usando a fatoração de Cholesky:
Então, a matriz L fica:

Passo 5

Agora que temos b = -1 1 0 , podemos reescrever o sistema 2 & 0 & 0 1 & 3 & 0 -2 & 2 & 1 y1 y2 y3 = -1 1 0 como -12 12 -2 .
Vamos resolver primeiro, onde .
Nosso vetor b é:
Então, temos:

$$

$$
Vamos resolver esse sistema triangular inferior:
Então,

Passo 6

Agora, vamos resolver L^T = 2 & 1 & -2 0 & 3 & 2 0 & 0 & 1 . A matriz y = -12 12 -2 é:
2 & 1 & -2 0 & 3 & 2 0 & 0 & 1 x1 x2 x3 = -12 12 -2
E o vetor y é:
2x1 + 112 = -12 Rightarrow 2x1 = -12 - 112 = -6 Rightarrow x1 = -3
Então, temos:

$$

$$
Vamos resolver esse sistema triangular superior:

Resposta

A solução do sistema é:
x = -3, y = 32, z = -2

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