Resolva pelo método de fatoração de Cholesky o sistema linear abaixo.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de fatoração de Cholesky. Primeiro, vamos entender o que temos: um sistema linear com três equações e três incógnitas (x, y, z). O método de Cholesky é uma técnica para resolver sistemas lineares que exige que a matriz dos coeficientes seja simétrica e positiva definida. Vamos precisar organizar a matriz do sistema e verificar essas condições antes de aplicar a fatoração.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz dos coeficientes do sistema:
Vamos verificar se essa matriz é simétrica. Uma matriz é simétrica se ela for igual à sua transposta. Olhando para A, vemos que:
Então, a matriz A é simétrica.

Passo 3

Agora, precisamos verificar se a matriz é positiva definida. Uma maneira de fazer isso é checar se todos os menores principais têm determinante positivo:
  1. O primeiro menor principal é .
  2. O segundo menor principal é:
  1. O determinante da matriz completa A:
Calculando o determinante de A:
Como todos os menores principais têm determinantes positivos, a matriz A é positiva definida.

Passo 4

Agora que confirmamos que podemos usar o método de Cholesky, vamos fatorar a matriz A em , onde L é uma matriz triangular inferior.
Vamos encontrar os elementos de L:
Usando a fatoração de Cholesky:
Então, a matriz L fica:

Passo 5

Agora que temos , podemos reescrever o sistema como .
Vamos resolver primeiro, onde .
Nosso vetor b é:
Então, temos:

$$

$$
Vamos resolver esse sistema triangular inferior:
Então,

Passo 6

Agora, vamos resolver . A matriz é:
E o vetor y é:
Então, temos:

$$

$$
Vamos resolver esse sistema triangular superior:

Resposta

A solução do sistema é:

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-2 -1 0 1 2
-0.8751 -0.4130 0.6931 0.8856 0.9528
por uma funçåo da forma
e obtenha uma aproximação para . Trabalhe com 4 casas decimais em todo processo de resolução.