Ajuste uma reta de mínimos quadrados aos dados da tabela abaixo tomando (a) x como variável independente e (b) x como variável dependente. Faça os gráficos dos dados e das retas utilizando o mesmo sistema de coordenadas.
x 3 5 6 8 9 11
y 2 5 4 6 5 8

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para ajustar uma reta de mínimos quadrados aos dados da tabela, tanto considerando como variável independente quanto como dependente. Isso faz parte da matéria de Regressão Linear. Para resolver, a gente vai precisar calcular algumas somas básicas dos valores de e , como , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar os dados da tabela:
sum x = 3 + 5 + 6 + 8 + 9 + 11 = 42 3 5 6 8 9 11
sum y = 2 + 5 + 4 + 6 + 5 + 8 = 30 2 5 4 6 5 8
Vamos calcular as somas necessárias:
sum xy = (3 times 2) + (5 times 5) + (6 times 4) + (8 times 6) + (9 times 5) + (11 times 8) = 6 + 25 + 24 + 48 + 45 + 88 = 236
sum x^2 = 3^2 + 5^2 + 6^2 + 8^2 + 9^2 + 11^2 = 9 + 25 + 36 + 64 + 81 + 121 = 336

Passo 3

Agora, vamos ajustar a reta considerando m = Nsum xy - (sum x)(sum y)Nsum x^2 - (sum x)^2 como variável independente (a). Para isso, usamos as fórmulas de regressão linear:
b = sum y - m sum xN
m = 6 times 236 - 42 times 306 times 336 - 42^2 = 1416 - 12602016 - 1764 = 156252 = 1321 approx 0,619
Onde b = 30 - 0,619 times 426 = 30 - 266 = 46 approx 0,667 é o número de pontos, que aqui é 6.
Calculando y = 0,619x + 0,667 :
Calculando :
Então, a equação da reta é:

Passo 4

Agora, vamos ajustar a reta considerando sum y^2 = 2^2 + 5^2 + 4^2 + 6^2 + 5^2 + 8^2 = 4 + 25 + 16 + 36 + 25 + 64 = 170 como variável dependente (b), ou seja, ajustando m' = Nsum xy - (sum x)(sum y)Nsum y^2 - (sum y)^2 em função de b' = sum x - m' sum yN . Para isso, precisamos calcular m' = 6 times 236 - 42 times 306 times 170 - 30^2 = 1416 - 12601020 - 900 = 156120 = 1,3 , b' = 42 - 1,3 times 306 = 42 - 396 = 36 = 0,5 , x = 1,3y + 0,5 e .
Já temos , e .
Vamos calcular :
Aplicamos as fórmulas de regressão linear invertida:
Calculando :
Calculando :
Então, a equação da reta é:

Resposta

(a) Quando é a variável independente, a reta de mínimos quadrados é .
(b) Quando é a variável dependente, a reta de mínimos quadrados é .

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