A tabela a seguir dá o número y de bactérias por unidade de volume presentes em uma cultura ao cabo de x horas. (5) Mostre como se pode utilizar o papel semi-logarítmico para obter a equação procurada sem apelar para o método dos mínimos quadrados.
Número de horas (x) 0 1 2 3 4 5 6
Número de bactérias <br> por unidade de <br> volume (y) 32 47 65 92 132 190 275

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar um papel semi-logarítmico para encontrar a equação que relaciona o número de horas (x) com o número de bactérias (y) sem usar o método dos mínimos quadrados. Isso está dentro do conteúdo de crescimento exponencial e gráficos semi-log. Vamos precisar transformar os valores de y usando o logaritmo para linearizar os dados e facilitar a obtenção da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um gráfico semi-logarítmico. Nesse tipo de gráfico, o eixo y é escalado de forma logarítmica e o eixo x é linear. Isso é útil quando os dados seguem uma tendência exponencial, porque transforma a curva exponencial em uma linha reta, facilitando a análise.

Passo 3

Agora, vamos calcular o logaritmo natural (ln) de cada valor de y para transformar os dados. Assim, temos:

Passo 4

Com esses valores de ln(y) em mãos, vamos criar uma tabela de pontos (x, ln(y)) e tentar determinar a equação da reta que melhor se ajusta a esses pontos. Sem usar o método dos mínimos quadrados, podemos escolher dois pontos para encontrar a inclinação (m) e o intercepto (b) da reta.
Vamos escolher, por exemplo, os pontos quando x = 0 e x = 6:
  • Para x = 0: ln(y) = 3,4657
  • Para x = 6: ln(y) = 5,6168

Passo 5

Calculando a inclinação (m) da reta:
Agora, o intercepto (b) é o valor de ln(y) quando x = 0, que já sabemos ser aproximadamente 3,4657.

Passo 6

Com a inclinação e o intercepto, a equação da reta no gráfico semi-logarítmico fica:
Para encontrar a equação original exponencial, vamos eliminar o logaritmo aplicando a exponencial dos dois lados:

Resposta

A equação que relaciona o número de bactérias com o tempo horas é:

Exercícios relacionados

Escreva as equações de mínimos quadrados para a curva dada por:
Um sistema físico é caracterizado pela presença de um objeto massivo preso na extremidade de um fio inextensivo e com massa desprezível. Quando esse objeto é colocado para oscilar, recebe o nome de pêndulo simples.
Imagine que esse sistema apareceu em alguma experiência do seu laboratório de Química. Então, foi necessária a realização de algumas medidas no comprimento de um pedaço de barbante. As medidas encontradas foram, respectivamente, e .
Com base nessas informaçōes, calcule a mediana desse conjunto de dados coletados por você.
Ajuste uma reta de mínimos quadrados aos dados da tabela abaixo tomando (a) como variável independente e (b) como variável dependente. Faça os gráficos dos dados e das retas utilizando o mesmo sistema de coordenadas.
3 5 6 8 9 11
2 5 4 6 5 8
Utilizando a tabela a seguir, (b) Determine a reta de regressão de mínimos quadrados de y sobre x.
Nota do teste 1 (x) 6 5 8 8 7 6 10 4 9 7
Nota do teste 2 (y) 8 7 7 10 5 8 10 6 8 6