A tabela a seguir dá o número y de bactérias por unidade de volume presentes em uma cultura ao cabo de x horas. (5) Mostre como se pode utilizar o papel semi-logarítmico para obter a equação procurada sem apelar para o método dos mínimos quadrados.
Número de horas (x) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
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Número de bactérias <br> por unidade de <br> volume (y) | 32 | 47 | 65 | 92 | 132 | 190 | 275 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar um papel semi-logarítmico para encontrar a equação que relaciona o número de horas (x) com o número de bactérias (y) sem usar o método dos mínimos quadrados. Isso está dentro do conteúdo de crescimento exponencial e gráficos semi-log. Vamos precisar transformar os valores de y usando o logaritmo para linearizar os dados e facilitar a obtenção da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é um gráfico semi-logarítmico. Nesse tipo de gráfico, o eixo y é escalado de forma logarítmica e o eixo x é linear. Isso é útil quando os dados seguem uma tendência exponencial, porque transforma a curva exponencial em uma linha reta, facilitando a análise.
Passo 3
Agora, vamos calcular o logaritmo natural (ln) de cada valor de y para transformar os dados. Assim, temos:
Passo 4
Com esses valores de ln(y) em mãos, vamos criar uma tabela de pontos (x, ln(y)) e tentar determinar a equação da reta que melhor se ajusta a esses pontos. Sem usar o método dos mínimos quadrados, podemos escolher dois pontos para encontrar a inclinação (m) e o intercepto (b) da reta.
Vamos escolher, por exemplo, os pontos quando x = 0 e x = 6:
- Para x = 0: ln(y) = 3,4657
- Para x = 6: ln(y) = 5,6168
Passo 5
Calculando a inclinação (m) da reta:
Agora, o intercepto (b) é o valor de ln(y) quando x = 0, que já sabemos ser aproximadamente 3,4657.
Passo 6
Com a inclinação e o intercepto, a equação da reta no gráfico semi-logarítmico fica:
Para encontrar a equação original exponencial, vamos eliminar o logaritmo aplicando a exponencial dos dois lados:
Resposta
A equação que relaciona o número de bactérias
com o tempo
horas é: