A tabela a seguir dá o número y de bactérias por unidade de volume presentes em uma cultura ao cabo de x horas. (5) Mostre como se pode utilizar o papel semi-logarítmico para obter a equação procurada sem apelar para o método dos mínimos quadrados.
Número de horas (x) 0 1 2 3 4 5 6
Número de bactérias <br> por unidade de <br> volume (y) 32 47 65 92 132 190 275

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente usar um papel semi-logarítmico para encontrar a equação que relaciona o número de horas (x) com o número de bactérias (y) sem usar o método dos mínimos quadrados. Isso está dentro do conteúdo de crescimento exponencial e gráficos semi-log. Vamos precisar transformar os valores de y usando o logaritmo para linearizar os dados e facilitar a obtenção da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é um gráfico semi-logarítmico. Nesse tipo de gráfico, o eixo y é escalado de forma logarítmica e o eixo x é linear. Isso é útil quando os dados seguem uma tendência exponencial, porque transforma a curva exponencial em uma linha reta, facilitando a análise.

Passo 3

Agora, vamos calcular o logaritmo natural (ln) de cada valor de y para transformar os dados. Assim, temos:
|c|c|c| hline Horas (x) & y & ln(y) hline 0 & 32 & ln(32) approx 3,4657 1 & 47 & ln(47) approx 3,8501 2 & 65 & ln(65) approx 4,1744 3 & 92 & ln(92) approx 4,5223 4 & 132 & ln(132) approx 4,8828 5 & 190 & ln(190) approx 5,2470 6 & 275 & ln(275) approx 5,6168 hline

Passo 4

Com esses valores de ln(y) em mãos, vamos criar uma tabela de pontos (x, ln(y)) e tentar determinar a equação da reta que melhor se ajusta a esses pontos. Sem usar o método dos mínimos quadrados, podemos escolher dois pontos para encontrar a inclinação (m) e o intercepto (b) da reta.
Vamos escolher, por exemplo, os pontos quando x = 0 e x = 6:
  • Para x = 0: ln(y) = 3,4657
  • Para x = 6: ln(y) = 5,6168

Passo 5

Calculando a inclinação (m) da reta:
m = ln(y2) - ln(y1)x2 - x1 = 5,6168 - 3,46576 - 0 approx 2,15116 approx 0,3585
Agora, o intercepto (b) é o valor de ln(y) quando x = 0, que já sabemos ser aproximadamente 3,4657.

Passo 6

Com a inclinação e o intercepto, a equação da reta no gráfico semi-logarítmico fica:
ln(y) = 0,3585x + 3,4657
Para encontrar a equação original exponencial, vamos eliminar o logaritmo aplicando a exponencial dos dois lados:
y = e^0,3585x + 3,4657 = e^3,4657 cdot e^0,3585x approx 32 cdot e^0,3585x

Resposta

A equação que relaciona o número de bactérias y approx 32 cdot e^0,3585x com o tempo horas é:

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