Escreva as equações de mínimos quadrados para a curva dada por:
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer escrever as equações de mínimos quadrados para uma curva do tipo . Isso faz parte do conteúdo de ajuste de curvas na matemática, especificamente usando o método dos mínimos quadrados. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar os melhores valores para os coeficientes , , e .
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são essas equações de mínimos quadrados. O objetivo desse método é ajustar uma curva aos pontos de dados de forma que a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela curva seja mínima. Essas diferenças são chamadas de resíduos.
Passo 3
Para encontrar os coeficientes , , e que minimizam os resíduos, precisamos derivar as equações normais. Isso envolve derivar a função de erro em relação a cada coeficiente e igualar a zero. A função de erro é a soma dos quadrados dos resíduos:
Passo 4
Vamos derivar em relação a cada coeficiente e igualar a zero:
Derivada em relação a :
Simplificando:
Derivada em relação a :
Simplificando:
Derivada em relação a :
Simplificando:
Derivada em relação a :
Simplificando:
Resposta
As equações de mínimos quadrados para a curva são:
Essas quatro equações formam um sistema que pode ser resolvido para encontrar os valores ótimos de , , e que ajustam a curva aos dados usando o método dos mínimos quadrados.