Escreva as equações de mínimos quadrados para a curva dada por:
y=a+b x+c x^2+d x^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer escrever as equações de mínimos quadrados para uma curva do tipo . Isso faz parte do conteúdo de ajuste de curvas na matemática, especificamente usando o método dos mínimos quadrados. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar os melhores valores para os coeficientes , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas equações de mínimos quadrados. O objetivo desse método é ajustar uma curva aos pontos de dados de forma que a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela curva seja mínima. Essas diferenças são chamadas de resíduos.

Passo 3

Para encontrar os coeficientes E = sumi=1^n (yi - a - b xi - c xi^2 - d xi^3)^2 , , e que minimizam os resíduos, precisamos derivar as equações normais. Isso envolve derivar a função de erro em relação a cada coeficiente e igualar a zero. A função de erro é a soma dos quadrados dos resíduos:

Passo 4

Vamos derivar partial Epartial a = -2 sumi=1^n (yi - a - b xi - c xi^2 - d xi^3) = 0 em relação a cada coeficiente e igualar a zero:
  1. Derivada em relação a sum yi = a n + b sum xi + c sum xi^2 + d sum xi^3 :
partial Epartial b = -2 sumi=1^n xi (yi - a - b xi - c xi^2 - d xi^3) = 0
Simplificando:
sum xi yi = a sum xi + b sum xi^2 + c sum xi^3 + d sum xi^4
  1. Derivada em relação a partial Epartial c = -2 sumi=1^n xi^2 (yi - a - b xi - c xi^2 - d xi^3) = 0 :
sum xi^2 yi = a sum xi^2 + b sum xi^3 + c sum xi^4 + d sum xi^5
Simplificando:
partial Epartial d = -2 sumi=1^n xi^3 (yi - a - b xi - c xi^2 - d xi^3) = 0
  1. Derivada em relação a sum xi^3 yi = a sum xi^3 + b sum xi^4 + c sum xi^5 + d sum xi^6 :
Simplificando:
  1. Derivada em relação a :
Simplificando:

Resposta

As equações de mínimos quadrados para a curva sum yi = a n + b sum xi + c sum xi^2 + d sum xi^3 sum xi yi = a sum xi + b sum xi^2 + c sum xi^3 + d sum xi^4 sum xi^2 yi = a sum xi^2 + b sum xi^3 + c sum xi^4 + d sum xi^5 sum xi^3 yi = a sum xi^3 + b sum xi^4 + c sum xi^5 + d sum xi^6 são:
Essas quatro equações formam um sistema que pode ser resolvido para encontrar os valores ótimos de , , e que ajustam a curva aos dados usando o método dos mínimos quadrados.

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