Escreva as equações de mínimos quadrados para a curva dada por:

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você quer escrever as equações de mínimos quadrados para uma curva do tipo . Isso faz parte do conteúdo de ajuste de curvas na matemática, especificamente usando o método dos mínimos quadrados. Para resolver isso, vamos precisar montar um sistema de equações que nos ajude a encontrar os melhores valores para os coeficientes , , e .

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são essas equações de mínimos quadrados. O objetivo desse método é ajustar uma curva aos pontos de dados de forma que a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pela curva seja mínima. Essas diferenças são chamadas de resíduos.

Passo 3

Para encontrar os coeficientes , , e que minimizam os resíduos, precisamos derivar as equações normais. Isso envolve derivar a função de erro em relação a cada coeficiente e igualar a zero. A função de erro é a soma dos quadrados dos resíduos:

Passo 4

Vamos derivar em relação a cada coeficiente e igualar a zero:
  1. Derivada em relação a :
Simplificando:
  1. Derivada em relação a :
Simplificando:
  1. Derivada em relação a :
Simplificando:
  1. Derivada em relação a :
Simplificando:

Resposta

As equações de mínimos quadrados para a curva são:
Essas quatro equações formam um sistema que pode ser resolvido para encontrar os valores ótimos de , , e que ajustam a curva aos dados usando o método dos mínimos quadrados.

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Número de horas (x) 0 1 2 3 4 5 6
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3 5 6 8 9 11
2 5 4 6 5 8