A tabela a seguir dá o número y de bactérias por unidade de volume presentes em uma cultura ao cabo de x horas. (b) Ajuste uma curva de mínimos quadrados da forma e explique por que essa equação deve dar bons resultados.
Número de horas (x) 0 1 2 3 4 5 6
Número de bactérias <br> por unidade de <br> volume (y) 32 47 65 92 132 190 275

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para ajustar uma curva de mínimos quadrados do tipo usando os dados fornecidos sobre o número de bactérias ao longo do tempo. Isso envolve conhecimentos de ajuste de curvas exponenciais e método dos mínimos quadrados. Vamos precisar transformar a equação exponencial para facilitar os cálculos e então aplicar o método para encontrar os melhores valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação exponencial para uma forma que seja linear, facilitando o uso do método dos mínimos quadrados. Podemos fazer isso aplicando o logaritmo natural nos dois lados da equação:
Agora a equação está na forma linear , onde é o intercepto e é o coeficiente angular.

Passo 3

Vamos organizar os dados fornecidos e calcular o logaritmo natural de :
Número de horas (x) 0 1 2 3 4 5 6
Número de bactérias 32 47 65 92 132 190 275
3.4657 3.8501 4.1744 4.5218 4.8828 5.2470 5.6133

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método dos mínimos quadrados para ajustar uma linha aos dados transformados. Precisamos calcular algumas somas:

Passo 5

Com essas somas, podemos calcular os coeficientes (slope) e (intercept) usando as fórmulas dos mínimos quadrados:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os valores de e exponenciando e :

Resposta

A curva de mínimos quadrados ajustada é dada por:
Essa equação funciona bem porque descreve um crescimento exponencial, que é típico em processos de reprodução de bactérias, onde a quantidade aumenta multiplicativamente a cada unidade de tempo.

Exercícios relacionados

Utilizando a tabela a seguir, (b) Determine a reta de regressão de mínimos quadrados de y sobre x.
Nota do teste 1 (x) 6 5 8 8 7 6 10 4 9 7
Nota do teste 2 (y) 8 7 7 10 5 8 10 6 8 6
Ajuste uma reta de mínimos quadrados aos dados da tabela abaixo tomando (a) como variável independente e (b) como variável dependente. Faça os gráficos dos dados e das retas utilizando o mesmo sistema de coordenadas.
3 5 6 8 9 11
2 5 4 6 5 8
Determine a covariância para os dados a seguir (b) usando a fórmula .
Nota do teste 1 (x) 6 5 8 8 7 6 10 4 9 7
Nota do teste 2 (y) 8 7 7 10 5 8 10 6 8 6
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Determine a raiz real de :
(b) Usando o método da bissecção para localizar a raiz contida no intervalo , considerando .