A tabela a seguir dá o número y de bactérias por unidade de volume presentes em uma cultura ao cabo de x horas. (b) Ajuste uma curva de mínimos quadrados da forma
e explique por que essa equação deve dar bons resultados.
Número de horas (x) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Número de bactérias <br> por unidade de <br> volume (y) | 32 | 47 | 65 | 92 | 132 | 190 | 275 |
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para ajustar uma curva de mínimos quadrados do tipo
usando os dados fornecidos sobre o número de bactérias ao longo do tempo. Isso envolve conhecimentos de ajuste de curvas exponenciais e método dos mínimos quadrados. Vamos precisar transformar a equação exponencial para facilitar os cálculos e então aplicar o método para encontrar os melhores valores de
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos transformar a equação exponencial
para uma forma que seja linear, facilitando o uso do método dos mínimos quadrados. Podemos fazer isso aplicando o logaritmo natural nos dois lados da equação:
Agora a equação está na forma linear
, onde
é o intercepto e
é o coeficiente angular.
Passo 3
Vamos organizar os dados fornecidos e calcular o logaritmo natural de
:
Número de horas (x) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
---|---|---|---|---|---|---|---|
Número de bactérias
|
32 | 47 | 65 | 92 | 132 | 190 | 275 |
|
3.4657 | 3.8501 | 4.1744 | 4.5218 | 4.8828 | 5.2470 | 5.6133 |
Passo 4
Agora, vamos aplicar o método dos mínimos quadrados para ajustar uma linha aos dados transformados. Precisamos calcular algumas somas:
Passo 5
Com essas somas, podemos calcular os coeficientes
(slope) e
(intercept) usando as fórmulas dos mínimos quadrados:
Passo 6
Agora, vamos encontrar os valores de
e
exponenciando
e
:
Resposta
A curva de mínimos quadrados ajustada é dada por:
Essa equação funciona bem porque descreve um crescimento exponencial, que é típico em processos de reprodução de bactérias, onde a quantidade aumenta multiplicativamente a cada unidade de tempo.
Exercícios relacionados
Utilizando a tabela a seguir, (b) Determine a reta de regressão de mínimos quadrados de y sobre x.
Nota do teste 1 (x) | 6 | 5 | 8 | 8 | 7 | 6 | 10 | 4 | 9 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Nota do teste 2 (y) | 8 | 7 | 7 | 10 | 5 | 8 | 10 | 6 | 8 | 6 |
Ajuste uma reta de mínimos quadrados aos dados da tabela abaixo tomando (a)
como variável independente e (b)
como variável dependente. Faça os gráficos dos dados e das retas utilizando o mesmo sistema de coordenadas.
|
3 | 5 | 6 | 8 | 9 | 11 |
---|---|---|---|---|---|---|
|
2 | 5 | 4 | 6 | 5 | 8 |
Determine a covariância para os dados a seguir (b) usando a fórmula
.
Nota do teste 1 (x) | 6 | 5 | 8 | 8 | 7 | 6 | 10 | 4 | 9 | 7 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Nota do teste 2 (y) | 8 | 7 | 7 | 10 | 5 | 8 | 10 | 6 | 8 | 6 |
:— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— | :— |
Determine a raiz real de
:
(b) Usando o método da bissecção para localizar a raiz contida no intervalo , considerando
.
(b) Usando o método da bissecção para localizar a raiz contida no intervalo