A tabela a seguir dá o número y de bactérias por unidade de volume presentes em uma cultura ao cabo de x horas. (b) Ajuste uma curva de mínimos quadrados da forma y=a b^x e explique por que essa equação deve dar bons resultados.
Número de horas (x) 0 1 2 3 4 5 6
Número de bactérias <br> por unidade de <br> volume (y) 32 47 65 92 132 190 275

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para ajustar uma curva de mínimos quadrados do tipo usando os dados fornecidos sobre o número de bactérias ao longo do tempo. Isso envolve conhecimentos de ajuste de curvas exponenciais e método dos mínimos quadrados. Vamos precisar transformar a equação exponencial para facilitar os cálculos e então aplicar o método para encontrar os melhores valores de e .

Passo 2

Primeiro, vamos transformar a equação exponencial ln y = ln (a b^x) = ln a + x ln b para uma forma que seja linear, facilitando o uso do método dos mínimos quadrados. Podemos fazer isso aplicando o logaritmo natural nos dois lados da equação:
Agora a equação está na forma linear , onde é o intercepto e é o coeficiente angular.

Passo 3

Vamos organizar os dados fornecidos e calcular o logaritmo natural de :
Número de horas (x) 0 1 2 3 4 5 6
Número de bactérias 32 47 65 92 132 190 275
3.4657 3.8501 4.1744 4.5218 4.8828 5.2470 5.6133

Passo 4

Agora, vamos aplicar o método dos mínimos quadrados para ajustar uma linha aos dados transformados. Precisamos calcular algumas somas:
n &= 7 sum x &= 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 sum ln y &approx 3.4657 + 3.8501 + 4.1744 + 4.5218 + 4.8828 + 5.2470 + 5.6133 approx 31.763 sum x cdot ln y &approx 0 times 3.4657 + 1 times 3.8501 + 2 times 4.1744 + 3 times 4.5218 + 4 times 4.8828 + 5 times 5.2470 + 6 times 5.6133 approx 104.2493 sum x^2 &= 0^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 + 4^2 + 5^2 + 6^2 = 91

Passo 5

Com essas somas, podemos calcular os coeficientes ln b = m = n sum (x cdot ln y) - (sum x)(sum ln y)n sum x^2 - (sum x)^2 = 7 times 104.2493 - 21 times 31.7637 times 91 - 21^2 approx 0.3200 (slope) e ln a = c = sum ln y - m sum xn = 31.763 - 0.3200 times 217 approx 3.5776 (intercept) usando as fórmulas dos mínimos quadrados:

Passo 6

Agora, vamos encontrar os valores de a = e^ln a approx e^3.5776 approx 35.84 e b = e^ln b approx e^0.3200 approx 1.3771 exponenciando e :

Resposta

A curva de mínimos quadrados ajustada é dada por:
y approx 35.84 times (1.3771)^x
Essa equação funciona bem porque descreve um crescimento exponencial, que é típico em processos de reprodução de bactérias, onde a quantidade aumenta multiplicativamente a cada unidade de tempo.

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