Considere um gás ideal que ocupa
a 1,33 bar. Calcule o trabalho necessário para comprimir o gás isotermicamente para um volume de 1,50 L a uma pressão constante de 2,00 bar seguido por outra compressão isotérmica para
a uma pressão constante de 3,75 bar. Compare o resultado com o trabalho de compressão do gás isotermicamente e reversivelmente de 2,25 L para
.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a pergunta tá pedindo. Temos um gás ideal que começa ocupando
a uma pressão de
. A gente precisa calcular o trabalho necessário para comprimir esse gás de duas maneiras:
- Primeiro, comprimindo isotermicamente (temperatura constante) para
a , e depois para a . - Comparar esse resultado com o trabalho de comprimir isotermicamente e reversivelmente diretamente de
para .
Vamos precisar entender a fórmula do trabalho em processos isotérmicos e usar a lei dos gases ideais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do trabalho realizado em um processo isotérmico para um gás ideal:
Onde:
-
é o trabalho -
é o número de mols -
é a constante dos gases ( ) -
é a temperatura (constante) -
é o volume inicial -
é o volume final
Mas como não temos
e
, podemos usar a relação
para encontrar
:
Vamos calcular
usando os valores iniciais.
Passo 3
Calculando
:
Então, agora podemos usar esse valor para calcular o trabalho em cada etapa.
Passo 4
Primeira Compressão: de
a
a
Usando a fórmula do trabalho:
Calculando o logaritmo natural:
Então:
Passo 5
Segunda Compressão: de
a
a
Agora, para essa etapa, usamos a mesma fórmula:
Calculando o logaritmo natural:
Então:
Passo 6
Trabalho Total nas Duas Compressões:
Passo 7
Compressão Isotérmica Reversível Direta de
para
:
Usando a mesma fórmula:
Calculando o logaritmo natural:
Então:
Passo 8
Comparação dos Resultados:
- Trabalho total nas duas compressões:
- Trabalho na compressão direta:
Os valores são iguais, o que mostra que o trabalho realizado em duas etapas isotérmicas é igual ao trabalho realizado em uma única compressão isotérmica reversível direta.
Resposta
O trabalho total necessário para comprimir o gás em duas etapas isotérmicas é
, que é igual ao trabalho realizado na compressão isotérmica reversível direta de
para
.