Considere um gás ideal que ocupa 2,25 L a 1,33 bar. Calcule o trabalho necessário para comprimir o gás isotermicamente para um volume de 1,50 L a uma pressão constante de 2,00 bar seguido por outra compressão isotérmica para 0,800 L a uma pressão constante de 3,75 bar. Compare o resultado com o trabalho de compressão do gás isotermicamente e reversivelmente de 2,25 L para 0,800 L.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta tá pedindo. Temos um gás ideal que começa ocupando a uma pressão de . A gente precisa calcular o trabalho necessário para comprimir esse gás de duas maneiras:
  1. Primeiro, comprimindo isotermicamente (temperatura constante) para a , e depois para a .
  2. Comparar esse resultado com o trabalho de comprimir isotermicamente e reversivelmente diretamente de para .
Vamos precisar entender a fórmula do trabalho em processos isotérmicos e usar a lei dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do trabalho realizado em um processo isotérmico para um gás ideal:
W = nRT ln(ViVf)
Onde:
  • nRT = Pi Vi é o trabalho
  • é o número de mols
  • é a constante dos gases ( )
  • é a temperatura (constante)
  • é o volume inicial
  • é o volume final
Mas como não temos e , podemos usar a relação para encontrar :
Vamos calcular usando os valores iniciais.

Passo 3

Calculando nRT = Pi Vi = 1,33 , bar times 2,25 , L = 2,9925 , bar cdot L :
Então, agora podemos usar esse valor para calcular o trabalho em cada etapa.

Passo 4

Primeira Compressão: de W1 = nRT ln(ViVf) = 2,9925 , bar cdot L times ln(2,251,50) a ln(2,251,50) = ln(1,5) approx 0,4055 a W1 = 2,9925 times 0,4055 approx 1,213 , bar cdot L
Usando a fórmula do trabalho:
Calculando o logaritmo natural:
Então:

Passo 5

Segunda Compressão: de W2 = nRT ln(ViVf) = 2,9925 , bar cdot L times ln(1,500,800) a ln(1,500,800) = ln(1,875) approx 0,629 a W2 = 2,9925 times 0,629 approx 1,882 , bar cdot L
Agora, para essa etapa, usamos a mesma fórmula:
Calculando o logaritmo natural:
Então:

Passo 6

Trabalho Total nas Duas Compressões:
Wtotal = W1 + W2 = 1,213 + 1,882 = 3,095 , bar cdot L

Passo 7

Compressão Isotérmica Reversível Direta de Wdireta = nRT ln(2,250,800) para ln(2,250,800) = ln(2,8125) approx 1,035 :
Usando a mesma fórmula:
Wdireta = 2,9925 times 1,035 approx 3,095 , bar cdot L
Calculando o logaritmo natural:
Então:

Passo 8

Comparação dos Resultados:
  • Trabalho total nas duas compressões:
  • Trabalho na compressão direta:
Os valores são iguais, o que mostra que o trabalho realizado em duas etapas isotérmicas é igual ao trabalho realizado em uma única compressão isotérmica reversível direta.

Resposta

O trabalho total necessário para comprimir o gás em duas etapas isotérmicas é , que é igual ao trabalho realizado na compressão isotérmica reversível direta de para .

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