Considere um gás ideal que ocupa a 1,33 bar. Calcule o trabalho necessário para comprimir o gás isotermicamente para um volume de 1,50 L a uma pressão constante de 2,00 bar seguido por outra compressão isotérmica para a uma pressão constante de 3,75 bar. Compare o resultado com o trabalho de compressão do gás isotermicamente e reversivelmente de 2,25 L para .

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a pergunta tá pedindo. Temos um gás ideal que começa ocupando a uma pressão de . A gente precisa calcular o trabalho necessário para comprimir esse gás de duas maneiras:
  1. Primeiro, comprimindo isotermicamente (temperatura constante) para a , e depois para a .
  2. Comparar esse resultado com o trabalho de comprimir isotermicamente e reversivelmente diretamente de para .
Vamos precisar entender a fórmula do trabalho em processos isotérmicos e usar a lei dos gases ideais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do trabalho realizado em um processo isotérmico para um gás ideal:
Onde:
  • é o trabalho
  • é o número de mols
  • é a constante dos gases ( )
  • é a temperatura (constante)
  • é o volume inicial
  • é o volume final
Mas como não temos e , podemos usar a relação para encontrar :
Vamos calcular usando os valores iniciais.

Passo 3

Calculando :
Então, agora podemos usar esse valor para calcular o trabalho em cada etapa.

Passo 4

Primeira Compressão: de a a
Usando a fórmula do trabalho:
Calculando o logaritmo natural:
Então:

Passo 5

Segunda Compressão: de a a
Agora, para essa etapa, usamos a mesma fórmula:
Calculando o logaritmo natural:
Então:

Passo 6

Trabalho Total nas Duas Compressões:

Passo 7

Compressão Isotérmica Reversível Direta de para :
Usando a mesma fórmula:
Calculando o logaritmo natural:
Então:

Passo 8

Comparação dos Resultados:
  • Trabalho total nas duas compressões:
  • Trabalho na compressão direta:
Os valores são iguais, o que mostra que o trabalho realizado em duas etapas isotérmicas é igual ao trabalho realizado em uma única compressão isotérmica reversível direta.

Resposta

O trabalho total necessário para comprimir o gás em duas etapas isotérmicas é , que é igual ao trabalho realizado na compressão isotérmica reversível direta de para .

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