Uma amostra de 3 mols de um gás a 200 K e
é comprimida reversivelmente e adiabaticamente até a temperatura de 250 K . Dado que sua capacidade calorifica molar a volume constante é
, calcule
e a pressão e o volume final.,
,
e
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de termodinâmica! A gente tem uma amostra de 3 mols de gás a 200 K e 2,00 atm que é comprimida reversivelmente e adiabaticamente até a temperatura de 250 K. A gente precisa calcular o calor trocado (q), o trabalho realizado (w), a variação da energia interna (ΔU), a variação da entalpia (ΔH) e as condições finais de pressão e volume. Para isso, vamos usar conceitos de processos adiabáticos e as relações da primeira lei da termodinâmica.
Passo 2
Primeiro, como o processo é adiabático, isso significa que não há troca de calor com o ambiente. Na termodinâmica, em processos adiabáticos, $ q = 0 $. Isso simplifica a nossa conta, pois a energia interna será apenas afetada pelo trabalho realizado.
Passo 3
Agora, vamos calcular o trabalho realizado $ w $. Em um processo adiabático reversível, a variação da energia interna $ \Delta U $ é igual ao trabalho realizado sobre o sistema. Usando a primeira lei da termodinâmica:
Como $ q = 0 $, temos:
Para encontrar $ \Delta U $, precisamos da capacidade calorífica a volume constante $ C_v $ e da variação de temperatura $ \Delta T $. A fórmula é:
Onde:
- $ n = 3 , mols $
- $ C_v = 27,5 , J/K·mol $
- $ \Delta T = T_{final} - T_{inicial} = 250 , K - 200 , K = 50 , K $
Então:
Arredondando, $ \Delta U = +4,1 , kJ $, e assim $ w = +4,1 , kJ $.
Passo 4
Agora, vamos calcular a variação da entalpia $ \Delta H $. A entalpia é dada por:
Primeiro, precisamos calcular $ \Delta (pV) $. Sabemos que para um gás ideal:
Então:
Onde $ R = 8,314 , J/K·mol $.
Assim, $ \Delta H = 4,1 , kJ + 1,247 , kJ = 5,347 , kJ $, arredondando para $ +5,4 , kJ $.
Passo 5
Vamos agora encontrar o volume final $ V_f $ e a pressão final $ p_f $.
Primeiro, usamos a equação de estado do gás ideal para as condições iniciais e finais. Inicialmente:
Queremos encontrar $ V_i $:
Convertendo a pressão para Pascals (
):
Agora, usando a relação adiabática:
Onde $ \gamma = \frac{C_p}{C_v} $. Sabemos que $ C_p = C_v + R = 27,5 + 8,314 = 35,814 , J/K·mol $, então:
Também, sabemos que $ T_i V_i^{\gamma-1} = T_f V_f^{\gamma-1} $, então podemos achar $ V_f $:
Finalmente, para achar $ p_f $: