O coeficiente de expansão alpha é definido como: alpha=1V(partial Vpartial T) e a compressibilidade isotérmica kappa т como: kappaT=-1V(partial Vpartial p)T. Avalie alpha е kappaT para um gás perfeito. R. b) (partial Ppartial T)V=n RV.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver esse exercício sobre o coeficiente de expansão alpha e a compressibilidade isotérmica kappaT para um gás perfeito. Aqui, vamos usar conceitos de termodinâmica, especificamente propriedades de gases ideais. Para isso, precisamos das fórmulas dadas e do comportamento do gás perfeito.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar as definições:
  • Coeficiente de expansão alpha:
    alpha = 1V ( partial Vpartial T )
    Isso mede como o volume V muda com a temperatura T mantendo a pressão constante.
  • Compressibilidade isotérmica kappaT:
    kappaT = -1V ( partial Vpartial p )T
    Isso mede como o volume V muda com a pressão p mantendo a temperatura constante.

Passo 3

Para um gás perfeito, sabemos que a equação de estado é:
pV = nRT
Onde:
  • p é a pressão,
  • V é o volume,
  • n é a quantidade de substância,
  • R é a constante dos gases,
  • T é a temperatura.

Passo 4

Vamos encontrar alpha. Precisamos da derivada de V em relação a T mantendo p constante.
Rearranjando a equação do gás perfeito para V:
V = nRTp
Agora, derivamos V em relação a T mantendo p constante:
( partial Vpartial T )p = nRp
Substituindo na definição de alpha:
alpha = 1V cdot nRp
Mas sabemos que pV = nRT, então $ \frac{nR}{p} = \frac{nR}{p} $.
Então:
nRp = nRp
Portanto:
alpha = 1V cdot nRp = 1V cdot VT = 1T

Passo 5

Agora, vamos calcular kappaT. Precisamos da derivada de V em relação a p mantendo T constante.
Usando a equação do gás perfeito novamente:
V = nRTp
Derivando V em relação a p mantendo T constante:
( partial Vpartial p )T = -nRTp^2
Substituindo na definição de kappaT:
kappaT = -1V cdot ( -nRTp^2 ) = nRTp^2 V
Novamente, como pV = nRT, podemos substituir nRT = pV:
kappaT = pVp^2 V = 1p
Portanto:
kappaT = 1p

Resposta

Para um gás perfeito, temos que:
alpha = 1T e kappaT = 1p

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