A energia interna para um gás perfeito monoatômico relativo a seu valor em
é
. Calcule
e
para este gás. R. zero.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um gás perfeito monoatômico, e a energia interna $ U $ relativa ao valor em $ T = 0 $ é dada por:
Aqui, $ n $ é o número de mols, $ R $ é a constante dos gases, e $ T $ é a temperatura. A matéria envolvida é Termodinâmica, e vamos precisar usar conceito de derivadas parciais e propriedades dos gases ideais para resolver as duas partes da questão:
- Calcular $ \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T $
- Calcular $ \left( \frac{\partial H}{\partial V} \right)_T $
Passo 2
Vamos começar calculando $ \left( \frac{\partial U}{\partial V} \right)_T $. Primeiro, precisamos entender que, para um gás perfeito monoatômico, a energia interna $ U $ depende apenas da temperatura e não do volume. Isso significa que, se mantivermos a temperatura constante, a energia interna não varia com o volume.
Matematicamente, isso se expressa como:
Passo 3
Agora, vamos para $ \left( \frac{\partial H}{\partial V} \right)_T $. Primeiro, lembremos que entalpia $ H $ é definida como:
Para um gás perfeito, sabemos que $ PV = nRT $. Então:
Como já vimos que $ U = \frac{3}{2} nRT $, substituindo temos:
Agora, vamos calcular a derivada parcial de $ H $ em relação a $ V $ mantendo $ T $ constante:
Como $ H $ também depende apenas da temperatura para um gás perfeito, mantendo $ T $ constante, a entalpia $ H $ não varia com o volume. Portanto:
Resposta
Ambas as derivadas parciais são iguais a zero: