Analisar a convergência das iterações de ponto fixo
para o cálculo da raiz quadrada de um número positivo
. OBS.:
representa a
-ésima iteração.
Passo 1
Vamos dar uma geral no exercício. A gente precisa analisar se as iterações de ponto fixo definidas por
convergem para a raiz quadrada de um número positivo
. A matéria aqui é sobre iterações de ponto fixo, que são métodos para aproximar soluções de equações utilizando repetições. Para entender se esse método vai dar certo, vamos precisar entender conceitos de convergência e pontos fixos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma iteração de ponto fixo. Basicamente, é uma sequência definida por uma função
tal que:
O ponto fixo é o valor
que satisfaz
. Se começarmos com um valor inicial próximo desse ponto fixo e a função
tiver certas propriedades, a sequência
vai se aproximar desse ponto.
No nosso caso, a função
é:
Queremos verificar se essa iteração vai convergir para
.
Passo 3
Para analisar a convergência, vamos primeiro encontrar o ponto fixo da função
. Ou seja, resolvemos a equação:
Multiplicando ambos os lados por
:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando:
As soluções são
ou
ou
.
Como estamos lidando com a raiz quadrada de um número positivo
, consideramos
.
Passo 4
Agora, para garantir que a iteração realmente convirja para
, precisamos verificar se a função
satisfaz a condição de contração no entorno de
. Isso envolve calcular a derivada de
e verificar se o valor absoluto da derivada é menor que 1 nesse ponto.
Vamos calcular
:
Primeiro, reescrevemos
:
Aplicando a regra da derivada para quocientes:
Vamos simplificar isso no ponto
:
Substituindo
:
Simplificando:
O valor absoluto da derivada em
é 0, que é menor que 1. Isso significa que a função
é uma contração nesse ponto, e, portanto, a iteração vai convergir para
.
Resposta
As iterações de ponto fixo definidas por
convergem para a raiz quadrada de
(
) quando começadas com um valor inicial positivo próximo de
.
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