Analisar a convergência das iterações de ponto fixo
x^(k+1)=x^(k)[(x^(k))^2+3 a]3(x^(k))^2+a, k >= 0
para o cálculo da raiz quadrada de um número positivo a. OBS.: k representa a k-ésima iteração.

Passo 1

Vamos dar uma geral no exercício. A gente precisa analisar se as iterações de ponto fixo definidas por
x^(k+1) = x^(k)[(x^(k))^2 + 3a]3(x^(k))^2 + a, k >= 0
convergem para a raiz quadrada de um número positivo . A matéria aqui é sobre iterações de ponto fixo, que são métodos para aproximar soluções de equações utilizando repetições. Para entender se esse método vai dar certo, vamos precisar entender conceitos de convergência e pontos fixos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma iteração de ponto fixo. Basicamente, é uma sequência definida por uma função x^(k+1) = g(x^(k)) tal que:
g(x) = x(x^2 + 3a)3x^2 + a
O ponto fixo é o valor que satisfaz . Se começarmos com um valor inicial próximo desse ponto fixo e a função tiver certas propriedades, a sequência vai se aproximar desse ponto.
No nosso caso, a função é:
Queremos verificar se essa iteração vai convergir para .

Passo 3

Para analisar a convergência, vamos primeiro encontrar o ponto fixo da função x = x(x^2 + 3a)3x^2 + a . Ou seja, resolvemos a equação:
x(3x^2 + a) = x(x^2 + 3a)
Multiplicando ambos os lados por 3x^3 + a x = x^3 + 3a x :
2x^3 - 2a x = 0
Simplificando:
2x(x^2 - a) = 0
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
As soluções são ou ou .
Como estamos lidando com a raiz quadrada de um número positivo , consideramos .

Passo 4

Agora, para garantir que a iteração realmente convirja para g(x) = x(x^2 + 3a)3x^2 + a , precisamos verificar se a função g'(x) = (3x^2 + a)(3x^2 + 3a) - x(x^2 + 3a)(6x)(3x^2 + a)^2 satisfaz a condição de contração no entorno de g'(raiza) = (3a + a)(3a + 3a) - raiza(a + 3a)(6raiza)(3a + a)^2 . Isso envolve calcular a derivada de g'(raiza) = 4a cdot 6a - raiza cdot 4a cdot 6raiza16a^2 = 24a^2 - 24a^216a^2 = 0 e verificar se o valor absoluto da derivada é menor que 1 nesse ponto.
Vamos calcular :
Primeiro, reescrevemos :
Aplicando a regra da derivada para quocientes:
Vamos simplificar isso no ponto :
Substituindo :
Simplificando:
O valor absoluto da derivada em é 0, que é menor que 1. Isso significa que a função é uma contração nesse ponto, e, portanto, a iteração vai convergir para .

Resposta

As iterações de ponto fixo definidas por
x^(k+1) = x^(k)[(x^(k))^2 + 3a]3(x^(k))^2 + a
convergem para a raiz quadrada de ( ) quando começadas com um valor inicial positivo próximo de .

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