Analisar a convergência das iterações de ponto fixo
para o cálculo da raiz quadrada de um número positivo . OBS.: representa a -ésima iteração.

Passo 1

Vamos dar uma geral no exercício. A gente precisa analisar se as iterações de ponto fixo definidas por
convergem para a raiz quadrada de um número positivo . A matéria aqui é sobre iterações de ponto fixo, que são métodos para aproximar soluções de equações utilizando repetições. Para entender se esse método vai dar certo, vamos precisar entender conceitos de convergência e pontos fixos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma iteração de ponto fixo. Basicamente, é uma sequência definida por uma função tal que:
O ponto fixo é o valor que satisfaz . Se começarmos com um valor inicial próximo desse ponto fixo e a função tiver certas propriedades, a sequência vai se aproximar desse ponto.
No nosso caso, a função é:
Queremos verificar se essa iteração vai convergir para .

Passo 3

Para analisar a convergência, vamos primeiro encontrar o ponto fixo da função . Ou seja, resolvemos a equação:
Multiplicando ambos os lados por :
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando:
As soluções são ou ou .
Como estamos lidando com a raiz quadrada de um número positivo , consideramos .

Passo 4

Agora, para garantir que a iteração realmente convirja para , precisamos verificar se a função satisfaz a condição de contração no entorno de . Isso envolve calcular a derivada de e verificar se o valor absoluto da derivada é menor que 1 nesse ponto.
Vamos calcular :
Primeiro, reescrevemos :
Aplicando a regra da derivada para quocientes:
Vamos simplificar isso no ponto :
Substituindo :
Simplificando:
O valor absoluto da derivada em é 0, que é menor que 1. Isso significa que a função é uma contração nesse ponto, e, portanto, a iteração vai convergir para .

Resposta

As iterações de ponto fixo definidas por
convergem para a raiz quadrada de ( ) quando começadas com um valor inicial positivo próximo de .

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