Use a regra de Simpson para estimar o valor da integral integral1^2 11+x^3 d x.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para estimar o valor da integral utilizando a Regra de Simpson. Para isso, precisamos entender como essa regra funciona e quais são os passos para aplicá-la corretamente.

Passo 2

Entendendo a Regra de Simpson
A Regra de Simpson é um método numérico para aproximar o valor de integrais definidas. Ela é especialmente útil quando a integral não pode ser resolvida facilmente por métodos analíticos. A regra usa uma combinação ponderada de valores da função nos pontos do intervalo para estimar a área sob a curva.

Passo 3

Dividindo o Intervalo
Primeiro, vamos dividir o intervalo de integração h = b - an = 2 - 12 = 0.5 em um número par de subintervalos. Para simplificar, vamos usar subintervalos.
O tamanho de cada subintervalo é dado por:

Passo 4

Identificando os Pontos
Com x0 = 1, x1 = 1 + h = 1.5, x2 = 2 e , os pontos de avaliação são:

Passo 5

Calculando os Valores da Função
Vamos calcular os valores da função f(x0) = f(1) = 11 + 1^3 = 12 = 0.5 nos pontos identificados:
f(x1) = f(1.5) = 11 + (1.5)^3 = 11 + 3.375 = 14.375 approx 0.2286
f(x2) = f(2) = 11 + 2^3 = 19 approx 0.1111

Passo 6

Aplicando a Regra de Simpson
A fórmula da Regra de Simpson para integrala^b f(x) , dx approx h3 [ f(x0) + 4f(x1) + f(x2) ] é:
approx 0.53 [ 0.5 + 4(0.2286) + 0.1111 ]
Substituindo os valores que calculamos:

Passo 7

Calculando a Aproximação
Vamos calcular passo a passo:
4f(x1) = 4 times 0.2286 = 0.9144
0.5 + 0.9144 + 0.1111 = 1.5255
0.53 times 1.5255 approx 0.1667 times 1.5255 approx 0.2542

Resposta

Usando a Regra de Simpson, a estimativa para a integral é aproximadamente 0.2542.

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