Considere a função
Faça algoritmos que, para dado valor de (valores negativos para ), encontre o valor de usando os métodos de bisecção, de falsa-posição e de Newton-
Raphson. Determine o número de iterações necessárias até que o erro seja
eps é o epsilon da máquina.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função matemática:
Aqui, é um valor negativo que nos é dado. Nosso objetivo é encontrar o valor de que satisfaz essa equação usando três métodos numéricos diferentes: Método da Bisecção, Método da Falsa-Posição e Método de Newton-Raphson. Além disso, precisamos determinar quantas iterações são necessárias até que o erro entre as aproximações seja menor ou igual a:
Aqui, eps representa o epsilon da máquina, que é a menor diferença distinguível pelo computador.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a aplicação dos métodos numéricos. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Isso nos dá uma função cuja raiz (valor de que faz ) queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos entender os três métodos que iremos utilizar:
  1. Método da Bisecç��o: Esse método divide o intervalo em duas partes iguais e seleciona a sub-intervalo onde a mudança de sinal ocorre, indicando a presença de uma raiz.
  2. Método da Falsa-Posição: Similar ao da bisecção, mas em vez de dividir o intervalo ao meio, usa uma linha secante para aproximar a raiz.
  3. Método de Newton-Raphson: Utiliza a derivada da função para encontrar a tangente na aproximação atual e usa o ponto onde a tangente cruza o eixo como a próxima aproximação.
Para aplicar esses métodos, precisamos:
  • Escolher um intervalo inicial onde sabemos que a função muda de sinal (isto é, ).
  • Para o método de Newton-Raphson, também precisamos calcular a derivada de .

Passo 4

Vamos começar com o Método da Bisecção:
  1. Escolha do Intervalo Inicial: Precisamos escolher e tais que . Isso garante que há pelo menos uma raiz no intervalo .
  2. Iteração:
    • Calcular o ponto médio: .
    • Avaliar .
    • Se ou a condição de erro for atendida, paramos.
    • Caso contrário, verificamos o sinal de :
      • Se for negativo, a raiz está em , então definimos .
      • Se for positivo, a raiz está em , então definimos .
    • Repetimos o processo até que a condição de erro seja satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos para o Método da Falsa-Posição:
  1. Escolha do Intervalo Inicial: Assim como na bisecção, escolhemos e tais que .
  2. Iteração:
    • Calcular o ponto de interseção da linha secante com o eixo :
    • Avaliar .
    • Se ou a condição de erro for atendida, paramos.
    • Caso contrário, verificamos o sinal de :
      • Se for negativo, a raiz está em , então definimos .
      • Se for positivo, a raiz está em , então definimos .
    • Repetimos o processo até que a condição de erro seja satisfeita.

Passo 6

Por fim, vamos abordar o Método de Newton-Raphson:
  1. Escolha de uma Aproximação Inicial: Precisamos de um ponto inicial próximo da raiz.
  2. Iteração:
    • Calcular a derivada de : .
    • Atualizar a aproximação usando:
    • Avaliar a condição de erro: .
    • Se a condição for atendida, paramos. Caso contrário, repetimos o processo com .

Passo 7

Para determinar o número de iterações necessárias, seguimos os seguintes passos para cada método:
  1. Iniciamos com uma contagem de iterações igual a zero.
  2. Em cada passo do método, incrementamos a contagem.
  3. Verificamos se a condição de erro é atendida.
    • Se sim, paramos e reportamos o número de iterações.
    • Se não, continuamos iterando.
Esse processo continua até que a diferença entre as aproximações consecutivas seja menor ou igual ao critério de erro estabelecido.

Resposta

Utilizando os métodos de Bisecção, Falsa-Posição e Newton-Raphson, seguimos os passos detalhados para encontrar o valor de que satisfaz a equação dada para um valor negativo de . Em cada método, determinamos o número de iterações necessárias até que a condição de erro seja atendida. O número exato de iterações dependerá do valor específico de e das aproximações iniciais escolhidas.

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