Considere a função
-1x^3+-1x^2=E
Faça algoritmos que, para dado valor de E (valores negativos para E ), encontre o valor de x usando os métodos de bisecção, de falsa-posição e de Newton-
Raphson. Determine o número de iterações necessárias até que o erro seja
|xn+1-xn| <= eps max 1,|xn+1|
eps é o epsilon da máquina.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função matemática:
-1x^3 + -1x^2 = E
Aqui, E é um valor negativo que nos é dado. Nosso objetivo é encontrar o valor de x que satisfaz essa equação usando três métodos numéricos diferentes: Método da Bisecção, Método da Falsa-Posição e Método de Newton-Raphson. Além disso, precisamos determinar quantas iterações são necessárias até que o erro entre as aproximações seja menor ou igual a:
|xn+1 - xn| <= eps cdot max 1, |xn+1|
Aqui, eps representa o epsilon da máquina, que é a menor diferença distinguível pelo computador.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a aplicação dos métodos numéricos. A equação dada é:
-1x^3 + -1x^2 = E
Podemos reescrever isso como:
f(x) = -1x^3 - 1x^2 - E = 0
Isso nos dá uma função f(x) cuja raiz (valor de x que faz f(x) = 0) queremos encontrar.

Passo 3

Agora, vamos entender os três métodos que iremos utilizar:
  1. Método da Bisecç��o: Esse método divide o intervalo em duas partes iguais e seleciona a sub-intervalo onde a mudança de sinal ocorre, indicando a presença de uma raiz.
  2. Método da Falsa-Posição: Similar ao da bisecção, mas em vez de dividir o intervalo ao meio, usa uma linha secante para aproximar a raiz.
  3. Método de Newton-Raphson: Utiliza a derivada da função para encontrar a tangente na aproximação atual e usa o ponto onde a tangente cruza o eixo x como a próxima aproximação.
Para aplicar esses métodos, precisamos:
  • Escolher um intervalo inicial [a, b] onde sabemos que a função muda de sinal (isto é, f(a) cdot f(b) < 0).
  • Para o método de Newton-Raphson, também precisamos calcular a derivada de f(x).

Passo 4

Vamos começar com o Método da Bisecção:
  1. Escolha do Intervalo Inicial: Precisamos escolher a e b tais que f(a) cdot f(b) < 0. Isso garante que há pelo menos uma raiz no intervalo [a, b].
  2. Iteração:
    • Calcular o ponto médio: c = a + b2.
    • Avaliar f(c).
    • Se f(c) = 0 ou a condição de erro for atendida, paramos.
    • Caso contrário, verificamos o sinal de f(a) cdot f(c):
      • Se for negativo, a raiz está em [a, c], então definimos b = c.
      • Se for positivo, a raiz está em [c, b], então definimos a = c.
    • Repetimos o processo até que a condição de erro seja satisfeita.

Passo 5

Agora, vamos para o Método da Falsa-Posição:
  1. Escolha do Intervalo Inicial: Assim como na bisecção, escolhemos a e b tais que f(a) cdot f(b) < 0.
  2. Iteração:
    • Calcular o ponto de interseção da linha secante com o eixo x: c = b - f(b) cdot b - af(b) - f(a)
    • Avaliar f(c).
    • Se f(c) = 0 ou a condição de erro for atendida, paramos.
    • Caso contrário, verificamos o sinal de f(a) cdot f(c):
      • Se for negativo, a raiz está em [a, c], então definimos b = c.
      • Se for positivo, a raiz está em [c, b], então definimos a = c.
    • Repetimos o processo até que a condição de erro seja satisfeita.

Passo 6

Por fim, vamos abordar o Método de Newton-Raphson:
  1. Escolha de uma Aproximação Inicial: Precisamos de um ponto inicial x0 próximo da raiz.
  2. Iteração:
    • Calcular a derivada de f(x): f'(x) = 3x^4 + 2x^3.
    • Atualizar a aproximação usando: xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
    • Avaliar a condição de erro: |xn+1 - xn| <= eps cdot max 1, |xn+1|.
    • Se a condição for atendida, paramos. Caso contrário, repetimos o processo com xn+1.

Passo 7

Para determinar o número de iterações necessárias, seguimos os seguintes passos para cada método:
  1. Iniciamos com uma contagem de iterações igual a zero.
  2. Em cada passo do método, incrementamos a contagem.
  3. Verificamos se a condição de erro é atendida.
    • Se sim, paramos e reportamos o número de iterações.
    • Se não, continuamos iterando.
Esse processo continua até que a diferença entre as aproximações consecutivas seja menor ou igual ao critério de erro estabelecido.

Resposta

Utilizando os métodos de Bisecção, Falsa-Posição e Newton-Raphson, seguimos os passos detalhados para encontrar o valor de x que satisfaz a equação dada para um valor negativo de E. Em cada método, determinamos o número de iterações necessárias até que a condição de erro |xn+1 - xn| <= eps cdot max 1, |xn+1| seja atendida. O número exato de iterações dependerá do valor específico de E e das aproximações iniciais escolhidas.

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