Considere a função
Faça algoritmos que, para dado valor de
(valores negativos para
), encontre o valor de
usando os métodos de bisecção, de falsa-posição e de Newton-
Raphson. Determine o número de iterações necessárias até que o erro seja
eps é o epsilon da máquina.
Raphson. Determine o número de iterações necessárias até que o erro seja
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função matemática:
Aqui,
é um valor negativo que nos é dado. Nosso objetivo é encontrar o valor de
que satisfaz essa equação usando três métodos numéricos diferentes: Método da Bisecção, Método da Falsa-Posição e Método de Newton-Raphson. Além disso, precisamos determinar quantas iterações são necessárias até que o erro entre as aproximações seja menor ou igual a:
Aqui, eps representa o epsilon da máquina, que é a menor diferença distinguível pelo computador.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para facilitar a aplicação dos métodos numéricos. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Isso nos dá uma função
cuja raiz (valor de
que faz
) queremos encontrar.
Passo 3
Agora, vamos entender os três métodos que iremos utilizar:
-
Método da Bisecç��o: Esse método divide o intervalo em duas partes iguais e seleciona a sub-intervalo onde a mudança de sinal ocorre, indicando a presença de uma raiz.
-
Método da Falsa-Posição: Similar ao da bisecção, mas em vez de dividir o intervalo ao meio, usa uma linha secante para aproximar a raiz.
-
Método de Newton-Raphson: Utiliza a derivada da função para encontrar a tangente na aproximação atual e usa o ponto onde a tangente cruza o eixo
como a próxima aproximação.
Para aplicar esses métodos, precisamos:
- Escolher um intervalo inicial
onde sabemos que a função muda de sinal (isto é, ). - Para o método de Newton-Raphson, também precisamos calcular a derivada de
.
Passo 4
Vamos começar com o Método da Bisecção:
-
Escolha do Intervalo Inicial: Precisamos escolher
e tais que . Isso garante que há pelo menos uma raiz no intervalo . -
Iteração:
- Calcular o ponto médio:
. - Avaliar
. - Se
ou a condição de erro for atendida, paramos. - Caso contrário, verificamos o sinal de
: - Se for negativo, a raiz está em
, então definimos . - Se for positivo, a raiz está em
, então definimos .
- Se for negativo, a raiz está em
- Repetimos o processo até que a condição de erro seja satisfeita.
- Calcular o ponto médio:
Passo 5
Agora, vamos para o Método da Falsa-Posição:
-
Escolha do Intervalo Inicial: Assim como na bisecção, escolhemos
e tais que . -
Iteração:
- Calcular o ponto de interseção da linha secante com o eixo
: - Avaliar
. - Se
ou a condição de erro for atendida, paramos. - Caso contrário, verificamos o sinal de
: - Se for negativo, a raiz está em
, então definimos . - Se for positivo, a raiz está em
, então definimos .
- Se for negativo, a raiz está em
- Repetimos o processo até que a condição de erro seja satisfeita.
- Calcular o ponto de interseção da linha secante com o eixo
Passo 6
Por fim, vamos abordar o Método de Newton-Raphson:
-
Escolha de uma Aproximação Inicial: Precisamos de um ponto inicial
próximo da raiz. -
Iteração:
- Calcular a derivada de
: . - Atualizar a aproximação usando:
- Avaliar a condição de erro:
. - Se a condição for atendida, paramos. Caso contrário, repetimos o processo com
.
- Calcular a derivada de
Passo 7
Para determinar o número de iterações necessárias, seguimos os seguintes passos para cada método:
- Iniciamos com uma contagem de iterações igual a zero.
- Em cada passo do método, incrementamos a contagem.
- Verificamos se a condição de erro é atendida.
- Se sim, paramos e reportamos o número de iterações.
- Se não, continuamos iterando.
Esse processo continua até que a diferença entre as aproximações consecutivas seja menor ou igual ao critério de erro estabelecido.
Resposta
Utilizando os métodos de Bisecção, Falsa-Posição e Newton-Raphson, seguimos os passos detalhados para encontrar o valor de
que satisfaz a equação dada para um valor negativo de
. Em cada método, determinamos o número de iterações necessárias até que a condição de erro
seja atendida. O número exato de iterações dependerá do valor específico de
e das aproximações iniciais escolhidas.
Exercícios relacionados
Analisar a convergência das iterações de ponto fixo
para o cálculo da raiz quadrada de um número positivo
. OBS.:
representa a
-ésima iteração.
Escrever um programa para calcular a seguinte sucessão:
Comparar com o limite exato
quando
.
Use a regra de Simpson para estimar o valor da integral
.
Use a regra do trapézio para estimar o valor da integral
, para cinco subintervalos.