Escrever um programa para calcular a seguinte sucessão:
I0 & =1e(e-1) In+1 & =1-(n+1) In, para n=0,1,2, ldots
Comparar com o limite exato In 0 quando n infty.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma sequência definida por uma regra de recorrência. Isso significa que cada termo depende do termo anterior. Nosso objetivo é calcular os primeiros termos dessa sequência e verificar se, conforme os termos aumentam (ou seja, vão para o infinito), eles realmente se aproximam de zero, como aponta o limite exato. Para isso, vamos precisar entender como funciona a recorrência e fazer alguns cálculos passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para o primeiro termo da sequência, que é dado por:
I0 = 1e(e - 1)
Aqui, I0 = 1e(e - 1) = 1 - 1e approx 1 - 0,3679 approx 0,6321 é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828. Vamos calcular :
Então, o primeiro termo é aproximadamente 0,6321.

Passo 3

Agora, vamos calcular o próximo termo da sequência usando a fórmula de recorrência:
In+1 = 1 - (n+1) cdot In
Para I1 = 1 - (0+1) cdot I0 = 1 - 1 cdot 0,6321 = 1 - 0,6321 = 0,3679 :
Então, é aproximadamente 0,3679.

Passo 4

Vamos continuar com I2 = 1 - (1+1) cdot I1 = 1 - 2 cdot 0,3679 = 1 - 0,7358 = 0,2642 :
Assim, é aproximadamente 0,2642.

Passo 5

Agora, para I3 = 1 - (2+1) cdot I2 = 1 - 3 cdot 0,2642 = 1 - 0,7926 = 0,2074 :
Portanto, é aproximadamente 0,2074.

Passo 6

Vamos calcular mais um termo para ver a tendência. Para I4 = 1 - (3+1) cdot I3 = 1 - 4 cdot 0,2074 = 1 - 0,8296 = 0,1704 :
Então, é aproximadamente 0,1704.

Passo 7

Observando os cálculos que fizemos, percebemos que os valores de estão diminuindo à medida que aumenta. Isso sugere que, conforme continuamos esse processo, os termos vão se aproximando cada vez mais de zero.

Resposta

Após calcular os primeiros termos da sequência, observamos que limn to infty In = 0 diminui conforme aumenta, confirmando que:
Ou seja, a sequência converge para zero conforme tende ao infinito.

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