Escrever um programa para calcular a seguinte sucessão:
Comparar com o limite exato
quando
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é uma sequência definida por uma regra de recorrência. Isso significa que cada termo depende do termo anterior. Nosso objetivo é calcular os primeiros termos dessa sequência e verificar se, conforme os termos aumentam (ou seja, vão para o infinito), eles realmente se aproximam de zero, como aponta o limite exato. Para isso, vamos precisar entender como funciona a recorrência e fazer alguns cálculos passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para o primeiro termo da sequência, que é dado por:
Aqui,
é a base do logaritmo natural, aproximadamente igual a 2,71828. Vamos calcular
:
Então, o primeiro termo
é aproximadamente 0,6321.
Passo 3
Agora, vamos calcular o próximo termo da sequência usando a fórmula de recorrência:
Para
:
Então,
é aproximadamente 0,3679.
Passo 4
Vamos continuar com
:
Assim,
é aproximadamente 0,2642.
Passo 5
Agora, para
:
Portanto,
é aproximadamente 0,2074.
Passo 6
Vamos calcular mais um termo para ver a tendência. Para
:
Então,
é aproximadamente 0,1704.
Passo 7
Observando os cálculos que fizemos, percebemos que os valores de
estão diminuindo à medida que
aumenta. Isso sugere que, conforme continuamos esse processo, os termos vão se aproximando cada vez mais de zero.
Resposta
Após calcular os primeiros termos da sequência, observamos que
diminui conforme
aumenta, confirmando que:
Ou seja, a sequência converge para zero conforme
tende ao infinito.