Analise os sistemas abaixo e verifique se possuem pelo menos uma solução (não resolva os sistemas completamente).
x1+3 x2+x3-x4=5
(a) -x1+x3-2 x4 =-7
+3 x2+2 x3-3 x4=0
x1+6 x2+3 x3-4 x4=3

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para analisar um sistema de equações e verificar se ele tem pelo menos uma solução. O assunto aqui é Sistemas Lineares, e para resolver vamos precisar entender como representar as equações em forma de matriz e usar métodos de análise para checar a consistência do sistema. Não vamos resolver o sistema completamente, só verificar se existe uma solução.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações de forma organizada. Temos:
x1 + 3x2 + x3 - x4 = 5 - x1 + x3 - 2x4 = -7 3x2 + 2x3 - 3x4 = 0 x1 + 6x2 + 3x3 - 4x4 = 3

Passo 3

Agora, vamos representar esse sistema em forma de matriz aumentada. Isso ajuda a visualizar melhor as equações e facilita a aplicação de métodos para analisar a solução. A matriz aumentada fica assim:
1 & 3 & 1 & -1 & | & 5 -1 & 0 & 1 & -2 & | & -7 0 & 3 & 2 & -3 & | & 0 1 & 6 & 3 & -4 & | & 3

Passo 4

Para verificar se o sistema tem pelo menos uma solução, vamos usar o Método de Eliminação de Gauss. Esse método transforma a matriz aumentada em uma forma mais simples, chamada de Forma Escalonada, onde é mais fácil identificar se o sistema é consistente (tem solução) ou inconsistente (não tem solução).

Passo 5

Aplicando a eliminação de Gauss:
  1. Primeira coluna: Já temos o 1 na primeira posição. Vamos zerar os elementos abaixo dele.
    • Adicionamos a primeira linha à segunda linha: (-1) + 1 = 0, 0 + 3 = 3, 1 + 1 = 2, -2 + (-1) = -3, -7 + 5 = -2
    • Subtraímos a primeira linha da quarta linha: 1 - 1 = 0, 6 - 3 = 3, 3 - 1 = 2, -4 - (-1) = -3, 3 - 5 = -2
    • A matriz fica: 1 & 3 & 1 & -1 & | & 5 0 & 3 & 2 & -3 & | & -2 0 & 3 & 2 & -3 & | & 0 0 & 3 & 2 & -3 & | & -2

Passo 6

  1. Segunda coluna: O coeficiente na segunda posição já é 3. Vamos zerar os elementos abaixo dele.
    • Subtraímos a segunda linha da terceira e da quarta linha: Terceira linha: 0 - 0 = 0, 3 - 3 = 0, 2 - 2 = 0, -3 - (-3) = 0, 0 - (-2) = 2 Quarta linha: 0 - 0 = 0, 3 - 3 = 0, 2 - 2 = 0, -3 - (-3) = 0, -2 - (-2) = 0
    • A matriz agora é: 1 & 3 & 1 & -1 & | & 5 0 & 3 & 2 & -3 & | & -2 0 & 0 & 0 & 0 & | & 2 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 7

Observamos que na terceira linha temos uma equação que ficou assim:
0x1 + 0x2 + 0x3 + 0x4 = 2
Isso significa que , o que é uma afirmação falsa. Isso indica que o sistema é inconsistente, ou seja, não possui solução.

Resposta

O sistema não possui nenhuma solução.

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