Determine os possíveis valores de alpha para que os sistemas abaixo possuam uma única solução:
x1+3 x2 & =-2 -4 x1+alpha & =8

Passo 1

Vamos resolver o sistema de equações abaixo para encontrar os valores possíveis de alpha que garantem uma única solução:
x1 + 3x2 &= -2 -4x1 + alpha &= 8
Aqui, estamos lidando com um sistema linear de duas equações e duas incógnitas, x1 e x2. Para que o sistema tenha uma única solução, precisamos que as equações sejam independentes, ou seja, que elas não representem a mesma reta no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a segunda equação para isolar alpha:
-4x1 + alpha = 8
Vamos somar 4x1 em ambos os lados para isolar alpha:
alpha = 4x1 + 8

Passo 3

Agora, temos alpha em termos de x1. Vamos substituir alpha na primeira equação:
x1 + 3x2 = -2
Mas para encontrar uma única solução, precisamos que haja uma relação consistente entre as duas equações. Vamos resolver a segunda equação para x1:
alpha = 4x1 + 8 implies 4x1 = alpha - 8 implies x1 = alpha - 84

Passo 4

Agora, substituímos x1 na primeira equação:
alpha - 84 + 3x2 = -2
Vamos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
alpha - 8 + 12x2 = -8

Passo 5

Agora, isolamos 12x2:
12x2 = -8 - (alpha - 8) implies 12x2 = -8 - alpha + 8 implies 12x2 = -alpha
Dividindo ambos os lados por 12:
x2 = -alpha12

Passo 6

Agora que temos x2 em termos de alpha, podemos substituir de volta para encontrar x1:
x1 = alpha - 84

Passo 7

Para que o sistema tenha uma única solução, as duas equações devem ser independentes. Se as equações fossem múltiplos uma da outra, teríamos infinitas soluções ou nenhuma. Portanto, garantimos que alpha não cause essa dependência.
Como encontramos expressões únicas para x1 e x2 em termos de alpha, isso significa que para qualquer valor de alpha, existe uma única solução para o sistema.

Resposta

Qualquer valor de alpha garante que o sistema possua uma única solução.

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