Determine os possíveis valores de para que os sistemas abaixo possuam uma única solução:
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações abaixo para encontrar os valores possíveis de que garantem uma única solução:
Aqui, estamos lidando com um sistema linear de duas equações e duas incógnitas, e . Para que o sistema tenha uma única solução, precisamos que as equações sejam independentes, ou seja, que elas não representem a mesma reta no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a segunda equação para isolar :
Vamos somar em ambos os lados para isolar :
Passo 3
Agora, temos em termos de . Vamos substituir na primeira equação:
Mas para encontrar uma única solução, precisamos que haja uma relação consistente entre as duas equações. Vamos resolver a segunda equação para :
Passo 4
Agora, substituímos na primeira equação:
Vamos multiplicar todos os termos por 4 para eliminar o denominador:
Passo 5
Agora, isolamos :
Dividindo ambos os lados por 12:
Passo 6
Agora que temos em termos de , podemos substituir de volta para encontrar :
Passo 7
Para que o sistema tenha uma única solução, as duas equações devem ser independentes. Se as equações fossem múltiplos uma da outra, teríamos infinitas soluções ou nenhuma. Portanto, garantimos que não cause essa dependência.
Como encontramos expressões únicas para e em termos de , isso significa que para qualquer valor de , existe uma única solução para o sistema.
Resposta
Qualquer valor de garante que o sistema possua uma única solução.