(2, 5 pontos) Considere o sistema linear:
Verificar a poossibilidade de aplicação do método de Gauss-Seidel.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício apresenta um sistema linear com três equações e três incógnitas:
A matéria que estamos lidando aqui é sobre Métodos Iterativos para Sistemas Lineares, especificamente o Método de Gauss-Seidel. Para verificar se podemos aplicar o Gauss-Seidel, precisamos analisar se a matriz dos coeficientes do sistema é dominante diagonalmente, o que facilita a convergência do método.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes:
A diagonal principal dessa matriz são os elementos , e .

Passo 3

Agora, vamos verificar a dominância diagonal. Isso significa que, em cada equação, o valor absoluto do elemento na diagonal deve ser maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha.
Vamos checar cada linha:
  1. Primeira linha:
    • Diagonal:
    • Soma dos outros:
    • Como , está ok.
  2. Segunda linha:
    • Diagonal:
    • Soma dos outros:
    • Como , está ok.
  3. Terceira linha:
    • Diagonal:
    • Soma dos outros:
    • Como , está ok.

Passo 4

Como todas as linhas da matriz são dominantes na diagonal, isso satisfaz uma das condições principais para a aplicação do Método de Gauss-Seidel. Essa propriedade garante que o método irá convergir para a solução do sistema.

Resposta

É possível aplicar o método de Gauss-Seidel ao sistema apresentado, pois a matriz dos coeficientes é dominante diagonalmente.

Exercícios relacionados

Analise os sistemas lineares abaixo com relação ao número de soluções, usando o método da Eliminação de Gauss (trabalhe com três casas decimais):
a)
b)
(2,5 pontos) Usando o método de Jacobi-Richardson, obter a solução do sistema linear:
com três casas decimais corretas.
Podemos encontrar a fatoração LU de A diretamente, usando simplesmente a definição de produto de matrizes. Esquemas deste tipo são conhecidos como esquemas compactos, e o equivalente à fatoração com L triangular inferior com diagonal unitária e U triangular superior é chamado de redução de Doolittle.
Supondo que a fatoração LU de A seja possível, de uma forma única,
a) multiplique a primeira linha de L pela j -ésima coluna de U e iguale a . Verifique que desta forma obtém-se o elemento ;
b) repita o item (a), multiplicando agora a i-ésima linha de L pela primeira coluna de U , e igualando a será possível obter ;
c) use o mesmo raciocínio de (a) e (b) para deduzir que, se as ( ) primeiras linhas de U e colunas de L já foram determinadas, então
e

d) explique por que, se A é não singular, então também o será, donde ,
e) escreva um algoritmo para a fatoração LU de A usando a redução de Doolittle;
f) teste seu algoritmo, fatorando A e entāo resolvendo o sistema abaixo, sendo
a) Mostre que resolver , onde A é matriz e B são matrizes , é o mesmo que resolver m sistemas do tipo , onde A é matriz , vetores .
b) Usando o item (a), verifique que pode ser obtida através de resolução de n sistemas lineares.
c) Entre o método da Eliminação de Gauss e a fatoração LU, qual o mais indicado para o cálculo de ?
d) Aplique o método escolhido no item © para obter a inversa da matriz