(2, 5 pontos) Considere o sistema linear:
r 5 x1+2 x2+x3=7 -x1+4 x2+2 x3=3 2 x1-3 x2+10 x3=-1
Verificar a poossibilidade de aplicação do método de Gauss-Seidel.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício apresenta um sistema linear com três equações e três incógnitas:
5x1 + 2x2 + x3 = 7 - x1 + 4x2 + 2x3 = 3 2x1 - 3x2 + 10x3 = -1
A matéria que estamos lidando aqui é sobre Métodos Iterativos para Sistemas Lineares, especificamente o Método de Gauss-Seidel. Para verificar se podemos aplicar o Gauss-Seidel, precisamos analisar se a matriz dos coeficientes do sistema é dominante diagonalmente, o que facilita a convergência do método.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes:
A = 5 & 2 & 1 -1 & 4 & 2 2 & -3 & 10
A diagonal principal dessa matriz são os elementos , e .

Passo 3

Agora, vamos verificar a dominância diagonal. Isso significa que, em cada equação, o valor absoluto do elemento na diagonal deve ser maior ou igual à soma dos valores absolutos dos outros coeficientes na mesma linha.
Vamos checar cada linha:
  1. Primeira linha:
    • Diagonal:
    • Soma dos outros:
    • Como , está ok.
  2. Segunda linha:
    • Diagonal:
    • Soma dos outros:
    • Como , está ok.
  3. Terceira linha:
    • Diagonal:
    • Soma dos outros:
    • Como , está ok.

Passo 4

Como todas as linhas da matriz são dominantes na diagonal, isso satisfaz uma das condições principais para a aplicação do Método de Gauss-Seidel. Essa propriedade garante que o método irá convergir para a solução do sistema.

Resposta

É possível aplicar o método de Gauss-Seidel ao sistema apresentado, pois a matriz dos coeficientes é dominante diagonalmente.

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